Soluciones del 1999 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Para que la afirmación $(6 \ ? \ 3) + 4 - (2 - 1) = 5$ sea verdadera, el signo de interrogación entre el $6$ y el $3$ debe reemplazarse por

$(6 \ ? \ 3) + 4 - (2 - 1) = 5.$ To make this statement true, the question mark between the $6$ and the $3$ should be replaced by

$\div$

$\times$

$+$

$-$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Simplifica primero la parte sin el signo de interrogación

Simplify the part without the question mark first

Pista grande:

Halla la operación que hace $6\ ?\ 3=2$

Find the operation that makes $6\ ?\ 3=2$

Solución:

Tenemos que $4 - (2 - 1) = 4 - 1 = 3.$

Entonces $(6 \ ? \ 3) + 3 = 5$ $6 \ ? \ 3 = 2.$

La única opción que funciona es $\div.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We have that $4 - (2 - 1) = 4 - 1 = 3.$

Then $(6 \ ? \ 3) + 3 = 5$ $6 \ ? \ 3 = 2.$

The only choice that works is $\div.$

Thus, A is the correct answer.

2.

¿Cuál es la medida en grados del ángulo más pequeño formado por las manecillas de un reloj a las $10$ en punto?

What is the degree measure of the smaller angle formed by the hands of a clock at $10$ o’clock?

$30$

$45$

$60$

$75$

$90$

Conceptos:reloj

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Cada marca de hora está separada $30^\circ$

Each hour mark is $30^\circ$ apart

Pista grande:

A las $10$ en punto, las manecillas están separadas dos marcas de hora

At $10$ o’clock, the hands are two hour marks apart

Solución:

A las $10$ en punto, la manecilla de las horas está en el $10$ y la manecilla de los minutos está en el $12.$

Esto significa que las manecillas están separadas $\frac{1}{6}$ de todo el círculo. Esto es igual a $360^{\circ} \cdot \dfrac{1}{6} = 60^{\circ}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

At $10$ o’clock, we have that the hour hand is at $10$ and the minute hand is at $12.$

This means that the hands are a $\frac{1}{6}$ of the entire circle apart. This is equal to $360^{\circ} \cdot \dfrac{1}{6} = 60^{\circ}.$

Thus, C is the correct answer.

3.

¿Cuál terna de números tiene una suma que NO es igual a $1$ ?

Which triplet of numbers has a sum NOT equal to $1?$

$(\frac12,\frac13,\frac16)$

$(2,-2,1)$

$(0.1,0.3,0.6)$

$(1.1,-2.1,1.0)$

$(-\frac32,-\frac52,5)$

Conceptos:fracción decimal

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Calcula primero las sumas que parezcan más fáciles

Compute the easiest-looking sums first

Pista grande:

Solo una de las ternas listadas no suma $1$

Only one listed triplet fails to total $1$

Solución:

A es igual a $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = 1.$

B se reduce a $2 - 2 + 1 = 1.$

C suma $0.1 + 0.3 + 0.6 = 1.$

Sin embargo, D suma $1.1 - 2.1 + 1.0 = 0.$

Para asegurarnos, verificamos que E tiene una suma de $-\dfrac{8}{2} + 5 = 5 - 4 = 1.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We have that A is the same as $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = 1.$

B reduces to $2 - 2 + 1 = 1.$

C adds up to $0.1 + 0.3 + 0.6 = 1.$

D however adds to $1.1 - 2.1 + 1.0 = 0.$

To make sure, we check that E has a sum of $-\dfrac{8}{2} + 5 = 5 - 4 = 1.$

Thus, D is the correct answer.

4.

El diagrama muestra las millas recorridas por los ciclistas Alberto y Bjorn. Después de cuatro horas, ¿aproximadamente cuántas millas más ha recorrido Alberto que Bjorn?

The diagram shows the miles traveled by bikers Alberto and Bjorn. After four hours, about how many more miles has Alberto biked than Bjorn?

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Lee ambas distancias a las $4$ horas

Read both distances at $4$ hours

Pista grande:

Resta la distancia de Bjorn a la de Alberto

Subtract Bjorn’s distance from Alberto’s

Solución:

Observando la gráfica, tenemos que Alberto ha recorrido $60$ millas y Bjorn $45$ millas después de $4$ horas.

La diferencia entre las dos distancias es $60 - 45 = 15$ millas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Looking at the graph, we have that Alberto has biked $60$ miles and Bjorn $45$ miles after $4$ hours.

The difference between the two distances is $60 - 45 = 15$ miles.

Thus, A is the correct answer.

5.

Un jardín rectangular de $50$ pies de largo y $10$ pies de ancho está cercado por una valla. Para agrandar el jardín usando la misma valla, su forma se cambia a un cuadrado. ¿En cuántos pies cuadrados se agranda el jardín?

A rectangular garden $50$ feet long and $10$ feet wide is enclosed by a fence. To make the garden larger, while using the same fence, its shape is changed to a square. By how many square feet does this enlarge the garden?

$100$

$200$

$300$

$400$

$500$

Conceptos:perímetro área

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Mantén el mismo perímetro

Keep the perimeter the same

Pista grande:

El lado del cuadrado es un cuarto del perímetro anterior

The square side length is one-fourth of the old perimeter

Solución:

La longitud actual de la valla es $2(50 + 10) = 2 \cdot 60 = 120$ pies. Si todos los lados se hacen iguales, entonces cada lado mide $120 \div 4 = 30$ pies. Así, el área del cuadrado es $30^2 = 900$ pies cuadrados. Nota que el área original del jardín es $50 \cdot 10 = 500$ pies cuadrados.

Por lo tanto, la diferencia es $900 - 500 = 400$ pies cuadrados.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The current length of the fence is $2(50 + 10) = 2 \cdot 60 = 120$ feet. If all the sides become the same, then each side length is $120 \div 4 = 30$ feet. As such, the area of the square is then $30^2 = 900$ square feet. Note that the original area of the garden is $50 \cdot 10 = 500$ square feet.

Therefore, the difference is $900 - 500 = 400$ square feet.

Thus, D is the correct answer.

6.

Bo, Coe, Flo, Jo y Moe tienen cantidades diferentes de dinero. Ni Jo ni Bo tienen tanto dinero como Flo. Tanto Bo como Coe tienen más que Moe. Jo tiene más que Moe, pero menos que Bo. ¿Quién tiene la menor cantidad de dinero?

Bo, Coe, Flo, Jo, and Moe have different amounts of money. Neither Jo nor Bo has as much money as Flo. Both Bo and Coe have more than Moe. Jo has more than Moe, but less than Bo. Who has the least amount of money?

Bo

Coe

Flo

Jo

Moe

Conceptos:deducción lógica desigualdad

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Elimina a quien se sepa que tiene más que otra persona

Eliminate anyone known to have more than someone else

Pista grande:

Usa cada comparación para mostrar quién está por encima de Moe

Use each comparison to show who is above Moe

Solución:

Sean $B, C, F, J,$ y $M$ la cantidad de dinero que tienen Bo, Coe, Flo, Jo y Moe respectivamente.

Entonces $J \lt F,\quad B \lt F.$

También tenemos $B \gt M,\quad C \gt M.$

Finalmente, se nos da $M \lt J \lt B.$

A partir de la primera y segunda desigualdades, obtenemos que $F \gt M.$

Esto muestra que todos tienen más dinero que Moe.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $B, C, F, J,$ and $M$ represent the amount of money that Bo, Coe, Flo, Jo, and Moe have respectively.

Then $J \lt F,\quad B \lt F.$

We also have $B \gt M,\quad C \gt M.$

Finally, we are given $M \lt J \lt B.$

From the first and second inequalities, we can get that $F \gt M.$

This shows that everyone has more money than Moe.

Thus, E is the correct answer.

7.

La tercera salida de una autopista está en el marcador de milla $40$ y la décima salida está en el marcador de milla $160.$ Hay un centro de servicio en la autopista ubicado a tres cuartos del camino desde la tercera salida hasta la décima salida. ¿En qué marcador de milla esperarías encontrar este centro de servicio?

The third exit on a highway is located at milepost $40$ and the tenth exit is at milepost $160.$ There is a service center on the highway located three-fourths of the way from the third exit to the tenth exit. At what milepost would you expect to find this service center?

$90$

$100$

$110$

$120$

$130$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Primero halla la distancia entre los marcadores de milla $40$ y $160$

First find the distance between mileposts $40$ and $160$

Pista grande:

Avanza $\frac{3}{4}$ de esa distancia desde el marcador de milla $40$

Move $\frac{3}{4}$ of that distance past milepost $40$

Solución:

Hay $160 - 40 = 120$ millas entre la tercera y la décima salida.

Esto significa que $\frac{3}{4}$ del camino se encuentra en el marcador de milla $40 + \dfrac{3}{4} \cdot 120 = 130$ de la autopista.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

There are $160 - 40 = 120$ miles between the third and tenth exits.

This means $\frac{3}{4}$ of the way is at the $40 + \dfrac{3}{4} \cdot 120 = 130$ milepost.

Thus, E is the correct answer.

8.

Seis cuadrados están coloreados por delante y por detrás: $R$ significa rojo, $B$ azul, $O$ naranja, $Y$ amarillo, $G$ verde y $W$ blanco. Están unidos con bisagras como se muestra, luego se doblan para formar un cubo. La cara opuesta a la cara blanca es

Six squares are colored, front and back ( $R$ = red, $B$ = blue, $O$ = orange, $Y$ = yellow, $G$ = green, and $W$ = white). They are hinged together as shown, then folded to form a cube. The face opposite the white face is

$B$

$G$

$O$

$R$

$Y$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Dobla alrededor del cuadrado marcado $Y$

Fold around the square marked $Y$

Pista grande:

Sigue qué cara queda opuesta a $W$

Track which face lands opposite $W$

Solución:

Considera el cubo con la cara amarilla hacia arriba.

Entonces podemos doblar hacia abajo las caras blanca, verde y naranja.

Como la cara azul está unida a la cara verde, terminará doblándose hacia atrás.

Esto significa que la cara azul quedará opuesta a la cara blanca.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Consider the cube with the yellow face facing upwards.

Then we can fold the white, green, and orange faces down.

Since the blue face is attached to the green face, it will end up folding backwards.

This means that the blue face will end up facing opposite the white face.

Thus, A is the correct answer.

9.

Tres macizos de flores se superponen como se muestra. El macizo $A$ tiene $500$ plantas, el macizo $B$ tiene $450$ plantas y el macizo $C$ tiene $350$ plantas. Los macizos $A$ y $B$ comparten $50$ plantas, mientras que los macizos $A$ y $C$ comparten $100.$ El número total de plantas es

Three flower beds overlap as shown. Bed $A$ has $500$ plants, bed $B$ has $450$ plants, and bed $C$ has $350$ plants. Beds $A$ and $B$ share $50$ plants, while beds $A$ and $C$ share $100.$ The total number of plants is

$850$

$1000$

$1150$

$1300$

$1450$

Conceptos:inclusión-exclusión Diagrama de Venn

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Suma primero las cantidades de los tres macizos

Add the three bed counts first

Pista grande:

Resta las superposiciones que se contaron dos veces

Subtract the overlaps that were counted twice

Solución:

Nota que hay $50 + 100 = 150$ plantas que están en dos macizos y no hay plantas en los tres macizos a la vez.

Entonces el número total de plantas es $500 + 450 + 350 - 150 = 1150.$ Restamos las superposiciones para eliminar las plantas que contamos dos veces.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note there are $50 + 100 = 150$ plants that are in two beds and there are no plants in all three beds.

The total number of plants is then $500 + 450 + 350 - 150 = 1150.$ We subtract to get rid of the plants that we counted twice.

Thus, C is the correct answer.

10.

Un ciclo completo de un semáforo dura $60$ segundos. Durante cada ciclo la luz está verde $25$ segundos, amarilla $5$ segundos y roja $30$ segundos. En un instante elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la luz NO esté verde?

A complete cycle of a traffic light takes $60$ seconds. During each cycle the light is green for $25$ seconds, yellow for $5$ seconds, and red for $30$ seconds. At a randomly chosen time, what is the probability that the light will NOT be green?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{7}{12}$

Conceptos:probabilidad geométrica probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

No verde significa rojo o amarillo

Not green means red or yellow

Pista grande:

Usa el tiempo en que no está verde dividido por el tiempo total del ciclo

Use time not green over total cycle time

Solución:

Durante un ciclo dado, la luz no está verde durante $30 + 5 = 35$ segundos.

Entonces la probabilidad de que no esté verde es $\dfrac{35}{60} = \dfrac{7}{12}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

During a given cycle, the light is not green for $30 + 5 = 35$ seconds.

Then the probability that it is not green is $\dfrac{35}{60} = \dfrac{7}{12}.$

Thus, E is the correct answer.

11.

Cada uno de los cinco números $1,$ $4,$ $7,$ $10,$ y $13$ se coloca en uno de los cinco cuadrados de modo que la suma de los tres números de la fila horizontal sea igual a la suma de los tres números de la columna vertical. El mayor valor posible para la suma horizontal o vertical es

Each of the five numbers $1,$ $4,$ $7,$ $10,$ and $13$ is placed in one of the five squares so that the sum of the three numbers in the horizontal row equals the sum of the three numbers in the vertical column. The largest possible value for the horizontal or vertical sum is

$20$

$21$

$22$

$24$

$30$

Conceptos:optimización doble conteo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

El cuadrado central se cuenta en ambas sumas

The center square is counted in both sums

Pista grande:

Maximiza el número central, luego divide el total duplicado en partes iguales

Maximize the center number, then split the doubled total equally

Solución:

Sea $x$ el número del centro. La suma horizontal más la suma vertical cuenta cada número una vez, salvo el número central, que se cuenta dos veces.

Por tanto, el doble de la suma común es $1+4+7+10+13+x$ $=35+x$ . Este valor es máximo cuando $x=13$ .

Así, la mayor suma común posible es a lo sumo $\dfrac{35+13}{2}=24$ , y se puede alcanzar: se coloca $13$ en el centro, $1$ y $10$ en los extremos de una fila, y $4$ y $7$ en los extremos de la otra. Ambas sumas son $24$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number in the center. The horizontal sum plus the vertical sum counts every number once, except the center number is counted twice.

So twice the common sum is $1+4+7+10+13+x$ $=35+x$ . This is largest when $x=13$ .

The largest common sum is therefore at most $\dfrac{35+13}{2}=24$ , and it is attainable: put $13$ in the center, $1$ and $10$ at the ends of one row, and $4$ and $7$ at the ends of the other. Both sums are $24$ .

Thus, D is the correct answer.

12.

La razón entre el número de partidos ganados y el número de partidos perdidos (sin empates) por los Middle School Middies es $\frac{11}{4}.$ Redondeado al porcentaje entero más cercano, ¿qué porcentaje de sus partidos perdió el equipo?

The ratio of the number of games won to the number of games lost (no ties) by the Middle School Middies is $\frac{11}{4}.$ To the nearest whole percent, what percent of its games did the team lose?

$24\%$

$27\%$

$36\%$

$45\%$

$73\%$

Conceptos:razón y proporción porcentaje

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Usa $11$ victorias y $4$ derrotas como un grupo

Use $11$ wins and $4$ losses as one batch

Pista grande:

La fracción de partidos perdidos es el número de derrotas dividido entre el total de partidos

The lost fraction is losses over total games

Solución:

Se puede ver al equipo como ganando $11$ partidos y perdiendo $4$ partidos en cada grupo de $15$ partidos.

El porcentaje perdido es $\dfrac4{15}\cdot100\%\approx 27\%$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The team can be viewed as winning $11$ games and losing $4$ games in each batch of $15$ games.

The percent lost is $\dfrac4{15}\cdot100\%\approx 27\%$ .

Thus, B is the correct answer.

13.

La edad promedio de los $40$ miembros de un campamento de ciencias de la computación es de $17$ años. Hay $20$ chicas, $15$ chicos y $5$ adultos. Si la edad promedio de las chicas es $15$ y la edad promedio de los chicos es $16,$ ¿cuál es la edad promedio de los adultos?

The average age of the $40$ members of a computer science camp is $17$ years. There are $20$ girls, $15$ boys, and $5$ adults. If the average age of the girls is $15$ and the average age of the boys is $16,$ what is the average age of the adults?

$26$

$27$

$28$

$29$

$30$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Convierte cada promedio en una edad total

Convert each average into a total age

Pista grande:

Resta los totales de las chicas y los chicos del total del campamento

Subtract the girls’ and boys’ totals from the camp total

Solución:

La suma de las edades de todos en el campamento es $40 \cdot 17 = 680.$

La suma de las edades de las chicas es $20 \cdot 15 = 300$ y la de los chicos es $15 \cdot 16 = 240.$

Por lo tanto, sabemos que la suma de las edades de los adultos debe ser $680 - 300 - 240 = 140.$

Y por lo tanto, la edad promedio de los adultos es $140 \div 5 = 28.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The sum of the ages of everybody at the camp is $40 \cdot 17 = 680.$

The sum of the ages of the girls is $20 \cdot 15 = 300$ and of the boys is $15 \cdot 16 = 240.$

As such, we know that the ages of the adults must be $680 - 300 - 240 = 140.$

And therefore, the average age of the adults is then $140 \div 5 = 28.$

Thus, C is the correct answer.

14.

En el trapecio $ABCD,$ los lados $AB$ y $CD$ son iguales. El perímetro de $ABCD$ es

In trapezoid $ABCD,$ the sides $AB$ and $CD$ are equal. The perimeter of $ABCD$ is

$27$

$30$

$32$

$34$

$48$

Conceptos:trapecio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Traza una altura desde $B$

Drop an altitude from $B$

Pista grande:

Los dos triángulos rectángulos laterales tienen cateto horizontal $4$

The two side right triangles have horizontal leg $4$

Solución:

Sea $H$ el punto donde la altura desde $B$ hasta $\overline{AD}$ interseca a $\overline{AD}.$

Entonces tenemos que $AH = \dfrac{16 - 8}{2} = 4,$ ya que $AB = CD.$

Luego, $AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.$

Por lo tanto, el perímetro es $8 + 16 + 2 \cdot 5 = 34.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $H$ be where the altitude from $B$ to $\overline{AD}$ intersects $\overline{AD}.$

Then we have that $AH = \dfrac{16 - 8}{2} = 4,$ since $AB = CD.$

We then have that $AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.$

Then the perimeter is $8 + 16 + 2 \cdot 5 = 34.$

Thus, D is the correct answer.

15.

Las placas de bicicleta en Flatville contienen cada una tres letras. La primera se elige del conjunto $\{C,H,L,P,R\},$ la segunda de $\{A,I,O\},$ y la tercera de $\{D,M,N,T\}.$

Cuando Flatville necesitó más placas, agregaron dos letras nuevas. Ambas letras nuevas pueden agregarse a un mismo conjunto, o una letra puede agregarse a un conjunto y la otra a otro conjunto. ¿Cuál es el mayor número posible de placas adicionales que se pueden hacer agregando dos letras?

Bicycle license plates in Flatville each contain three letters. The first is chosen from the set $\{C,H,L,P,R\},$ the second from $\{A,I,O\},$ and the third from $\{D,M,N,T\}.$

When Flatville needed more license plates, they added two new letters. The new letters may both be added to one set or one letter may be added to one set and one to another set. What is the largest possible number of additional license plates that can be made by adding two letters?

$24$

$30$

$36$

$40$

$60$

Conceptos:principio de multiplicación optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

El número anterior de placas es $5\cdot3\cdot4$

The old number of plates is $5\cdot3\cdot4$

Pista grande:

Para maximizar un producto, haz que los tres factores estén lo más equilibrados posible

To maximize a product, make the three factors as balanced as possible

Solución:

Actualmente se pueden hacer $5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$ placas.

Si ambas letras se agregan al primer conjunto, entonces hay $7 \cdot 3 \cdot 4 = 84$ placas posibles.

Si ambas se agregan al segundo, hay $5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$ placas.

Si se agregan al tercero, hay $5 \cdot 3 \cdot 6 = 90$ opciones.

Si una se agrega al primer conjunto y la otra al segundo, hay $6 \cdot 4 \cdot 4 = 96$ placas.

Si una se agrega al primer conjunto y la otra al tercero, obtenemos $6 \cdot 3 \cdot 5 = 90$ placas posibles.

Finalmente, si las letras se agregan al segundo y tercer conjuntos, hay $5 \cdot 4 \cdot 5 = 100$ placas.

Vemos que $100$ es el mayor número de placas que podemos lograr. Esto son $100 - 60 = 40$ placas adicionales.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are currently $5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$ license plates that can be made.

If both letters are added to the first set, then there are $7 \cdot 3 \cdot 4 = 84$ possible plates.

If they are both added to the second, there are $5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$ plates.

If they are added to the third, there are $5 \cdot 3 \cdot 6 = 90$ choices.

If one is added to the first set and the other to the second set, there are $6 \cdot 4 \cdot 4 = 96$ plates.

If the other is added to the third set, we get $6 \cdot 3 \cdot 5 = 90$ possible plates.

Finally, if the letters are added to the second and third sets, there are $5 \cdot 4 \cdot 5 = 100$ plates.

We see that $100$ is the greatest number of plates that we can achieve. This is an additional $100 - 60 = 40$ plates.

Thus, D is the correct answer.

16.

El examen de matemáticas de Tori tenía $75$ problemas: $10$ de aritmética, $30$ de álgebra y $35$ de geometría. Aunque respondió correctamente el $70\%$ de los de aritmética, el $40\%$ de los de álgebra y el $60\%$ de los de geometría, no aprobó el examen porque acertó menos del $60\%$ de los problemas.

¿Cuántos problemas más habría necesitado responder correctamente para obtener una calificación aprobatoria del $60\%$ ?

Tori’s mathematics test had $75$ problems: $10$ arithmetic, $30$ algebra, and $35$ geometry problems. Although she answered $70\%$ of the arithmetic, $40\%$ of the algebra, and $60\%$ of the geometry problems correctly, she did not pass the test because she got less than $60\%$ of the problems right.

How many more problems would she have needed to answer correctly to earn a $60\%$ passing grade?

$1$

$5$

$7$

$9$

$11$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Calcula las respuestas correctas actuales de Tori por categoría

Compute Tori’s current correct answers by category

Pista grande:

Compara ese total con el $60\%$ de $75$

Compare that total with $60\%$ of $75$

Solución:

Respondió correctamente $10 \cdot 0.7 = 7$ preguntas de aritmética. Respondió correctamente $30 \cdot 0.4 = 12$ de álgebra. También acertó $35 \cdot 0.6 = 21$ preguntas de geometría.

Esto significa que acertó un total de $7 + 12 + 21 = 40$ preguntas.

Por lo tanto, para obtener un $60\%,$ Tori debía responder correctamente $75 \cdot 0.6 = 45$ preguntas. Esto significa que habría necesitado responder correctamente $45 - 40 = 5$ preguntas adicionales.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

She answered $10 \cdot 0.7 = 7$ arithmetic questions correctly. She answered $30 \cdot 0.4 = 12$ algebra ones correctly. She also got $35 \cdot 0.6 = 21$ geometry questions correctly.

This means she got a total of $7 + 12 + 21 = 40$ questions correct.

As such, in order to get a $60\%,$ Tori must have answered $75 \cdot 0.6 = 45$ questions correctly. This means that she would have needed to answer an additional $45 - 40 = 5$ questions correctly.

Thus, B is the correct answer.

17.

Los problemas $17,$ $18,$ y $19$ se refieren a lo siguiente:

Galletas para una multitud

En Central Middle School los $108$ estudiantes que participan en el AMC $8$ se reúnen por la noche para hablar de problemas y comen en promedio dos galletas cada uno. Este año Walter y Gretel hornean las Bonnie’s Best Bar Cookies. Su receta, que hace una bandeja de $15$ galletas, incluye estos ingredientes: $1\dfrac{1}{2}$ tazas de harina, $2$ huevos, $3$ cucharadas de mantequilla, $\dfrac{3}{4}$ de taza de azúcar y $1$ paquete de chispas de chocolate. Solo harán recetas completas, no recetas parciales.

Walter puede comprar huevos por media docena. ¿Cuántas medias docenas debe comprar para hacer suficientes galletas? (Pueden sobrar algunos huevos y algunas galletas.)

Problems $17,$ $18,$ and $19$ refer to the following:

Cookies For a Crowd

At Central Middle School the $108$ students who take the AMC $8$ meet in the evening to talk about problems and eat an average of two cookies apiece. Walter and Gretel are baking Bonnie’s Best Bar Cookies this year. Their recipe, which makes a pan of $15$ cookies, lists these items: $1\dfrac{1}{2}$ cups of flour, $2$ eggs, $3$ tablespoons butter, $\dfrac{3}{4}$ cups sugar, and $1$ package of chocolate drops. They will make only full recipes, not partial recipes.

Walter can buy eggs by the half-dozen. How many half-dozens should he buy to make enough cookies? (Some eggs and some cookies may be left over.)

$1$

$2$

$5$

$7$

$15$

Conceptos:funciones piso y techo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Halla cuántas recetas completas se necesitan para $216$ galletas

Find how many full recipes are needed for $216$ cookies

Pista grande:

Cada receta completa usa $2$ huevos

Each full recipe uses $2$ eggs

Solución:

Como los estudiantes comen en promedio $2$ galletas cada uno, comerán un total de $108 \cdot 2 = 216$ galletas.

Cada receta hace $15$ galletas, lo que significa que necesitamos $\left\lceil\dfrac{216}{15}\right\rceil = 15$ recetas completas para hacer suficientes galletas.

Cada bandeja requiere $2$ huevos, lo que significa que necesitamos $15 \cdot 2 = 30$ huevos. Hay $6$ huevos en media docena, así que necesitamos $30 \div 6 = 5$ medias docenas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since the students eat an average of $2$ cookies each, they will eat a total of $108 \cdot 2 = 216$ cookies.

Each recipe makes $15$ cookies, which means we need $\left\lceil\dfrac{216}{15}\right\rceil = 15$ full recipes to make enough cookies.

Each pan requires $2$ eggs, which means we need $15 \cdot 2 = 30$ eggs. There are $6$ eggs in a half-dozen, so we need $30 \div 6 = 5$ half-dozens.

Thus, C is the correct answer.

18.

Se enteran de que hay un gran concierto programado para la misma noche y la asistencia bajará un $25\%.$ ¿Cuántas recetas de galletas deben hacer para su fiesta más pequeña?

They learn that a big concert is scheduled for the same night and attendance will be down $25\%.$ How many recipes of cookies should they make for their smaller party?

$6$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:porcentaje funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Una caída del $25\%$ deja un $75\%$ de asistencia

A $25\%$ drop leaves $75\%$ attendance

Pista grande:

Redondea hacia arriba el número de recetas necesarias

Round the needed number of recipes up

Solución:

Ahora solo habrá $108 \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = 108 \cdot \dfrac{3}{4} = 81$ personas en la fiesta. Esto significa que necesitamos $\left\lceil \dfrac{81 \cdot 2}{15} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{162}{15} \right\rceil = 11$ recetas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

There will now only be $108 \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = 108 \cdot \dfrac{3}{4} = 81$ people at the party. This means we need $\left\lceil \dfrac{81 \cdot 2}{15} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{162}{15} \right\rceil = 11$ recipes.

Thus, E is the correct answer.

19.

El baterista se enferma. El concierto se cancela. Walter y Gretel deben hacer suficientes bandejas de galletas para proveer $216$ galletas. Hay $8$ cucharadas en una barra de mantequilla. ¿Cuántas barras de mantequilla se necesitarán? (Por supuesto, puede sobrar algo de mantequilla.)

The drummer gets sick. The concert is cancelled. Walter and Gretel must make enough pans of cookies to supply $216$ cookies. There are $8$ tablespoons in a stick of butter. How many sticks of butter will be needed? (Some butter may be left over, of course.)

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:conversión de unidades funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Primero redondea hacia arriba el número de bandejas

First round the number of pans up

Pista grande:

Convierte las cucharadas de mantequilla en barras y redondea hacia arriba

Convert tablespoons of butter to sticks and round up

Solución:

Para hacer $216$ galletas, tienen que hacer $\left\lceil \dfrac{216}{15} \right\rceil = 15$ bandejas. Como cada bandeja requiere $3$ cucharadas de mantequilla, todas las bandejas necesitarán $15 \cdot 3 = 45$ cucharadas.

Entonces necesitarán $\left\lceil \dfrac{45}{8} \right\rceil = 6$ barras de mantequilla.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

To make $216$ cookies, they have to make $\left\lceil \dfrac{216}{15} \right\rceil = 15$ pans. Since each pan requires $3$ tablespoons of butter, all the pans will need $15 \cdot 3 = 45$ tablespoons.

They will then need $\left\lceil \dfrac{45}{8} \right\rceil = 6$ sticks of butter.

Thus, B is the correct answer.

20.

La figura $1$ se llama “mapa de pilas”. Los números indican cuántos cubos hay apilados en cada posición. La Fig. $2$ muestra estos cubos, y la Fig. $3$ muestra la vista de los cubos apilados vistos desde el frente.

¿Cuál de las siguientes es la vista frontal del mapa de pilas de la Fig. $4$ ?

Figure $1$ is called a “stack map.” The numbers tell how many cubes are stacked in each position. Fig. $2$ shows these cubes, and Fig. $3$ shows the view of the stacked cubes as seen from the front.

Which of the following is the front view for the stack map in Fig. $4?$

Conceptos:Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Una vista frontal conserva solo la pila más alta en cada columna

A front view keeps only the taller stack in each column

Pista grande:

Para cada columna, toma la mayor altura entre el frente y el fondo

For each column, take the larger front/back height

Solución:

Nota que la altura de la columna es la altura máxima entre las columnas del frente y del fondo.

En la columna izquierda, la columna del fondo es más alta con altura $2.$

En la columna del medio, la columna del frente es más alta con altura $3.$

Finalmente, la columna derecha tiene altura $4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that the height of the column is the maximum height of the front and back columns.

In the left column, we have that the back column is taller with height $2.$

In the middle column, we have that the front column is taller with height $3.$

Finally, the right column has height $4.$

Thus, B is the correct answer.

21.

La medida en grados del ángulo $A$ es

The degree measure of angle $A$ is

$20$

$30$

$35$

$40$

$45$

Conceptos:persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Usa ángulos suplementarios en las dos intersecciones

Use supplementary angles at the two intersections

Pista grande:

Luego usa la suma de los ángulos de un triángulo cerca del ángulo de $40^\circ$

Then use a triangle angle sum near the $40^\circ$ angle

Solución:

Marca los vértices como se muestra a continuación.

Por ángulos suplementarios, tenemos $\angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}.$ Luego, de nuevo por ángulos suplementarios, tenemos $\angle CED = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}.$ Usando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180^{\circ},$ obtenemos $\begin{aligned} \angle ECD &= 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} \\ &= 70^{\circ}. \end{aligned}$ Luego, usando ángulos opuestos por el vértice, tenemos $\angle ACB = \angle ECD = 70^{\circ}.$ Finalmente, usando la suma de los ángulos interiores de un triángulo, obtenemos $\angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Label the vertices as below.

We then have that $\angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ by supplementary angles. Then we have $\angle CED = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ again by supplementary angles. Using the sum of the interior angles of a triangle is $180^{\circ},$ we get $\begin{aligned} \angle ECD &= 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} \\ &= 70^{\circ}. \end{aligned}$ Then, using vertical angles, we have $\angle ACB = \angle ECD = 70^{\circ}.$ Finally, using the sum of the interior angles of a triangle, we get $\angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}.$

Thus, B is the correct answer.

22.

En una tierra lejana, tres peces se pueden cambiar por dos hogazas de pan, y una hogaza de pan se puede cambiar por cuatro bolsas de arroz. ¿Cuántas bolsas de arroz vale un pez?

In a far-off land three fish can be traded for two loaves of bread and a loaf of bread can be traded for four bags of rice. How many bags of rice is one fish worth?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$2\dfrac{2}{3}$

$3\dfrac{1}{3}$

Conceptos:razón y proporción conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Convierte cada intercambio en una ecuación de valor

Turn each trade into a value equation

Pista grande:

Convierte peces a pan, luego pan a arroz

Convert fish to bread, then bread to rice

Solución:

Tres peces valen dos hogazas de pan, así que un pez vale $\dfrac23$ de una hogaza.

Una hogaza vale $4$ bolsas de arroz, así que un pez vale $\dfrac23\cdot4=\dfrac83=2\dfrac23$ bolsas de arroz.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Three fish are worth two loaves of bread, so one fish is worth $\dfrac23$ of a loaf.

One loaf is worth $4$ bags of rice, so one fish is worth $\dfrac23\cdot4=\dfrac83=2\dfrac23$ bags of rice.

Thus, D is the correct answer.

23.

El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud $3.$ Los segmentos $CM$ y $CN$ dividen el área del cuadrado en tres partes iguales. ¿Cuánto mide el segmento $CM$ ?

Square $ABCD$ has sides of length $3.$ Segments $CM$ and $CN$ divide the square’s area into three equal parts. How long is segment $CM?$

$\sqrt{10}$

$\sqrt{12}$

$\sqrt{13}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

Conceptos:área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Cada una de las tres regiones tiene un área igual a un tercio del cuadrado

Each of the three regions has area one-third of the square

Pista grande:

Usa el área de $\triangle BMC$ para hallar $BM$

Use the area of $\triangle BMC$ to find $BM$

Solución:

El área del cuadrado es $3^2 = 9,$ lo que significa que el área de una región es $9 \div 3 = 3.$

Esto significa que el área de $\triangle BMC$ es $3,$ lo que significa que $\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot BM = 3$ $BM = 2.$

Como $\triangle BMC$ es rectángulo, tenemos $CM = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The area of the square is $3^2 = 9,$ which means that the area of one region is $9 \div 3 = 3.$

This means the area of $\triangle BMC$ is $3,$ which means that $\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot BM = 3$ $BM = 2.$

Since $\triangle BMC$ is right, we have $CM = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}.$

Thus, C is the correct answer.

24.

Cuando $1999^{2000}$ se divide entre $5,$ el residuo es

When $1999^{2000}$ is divided by $5,$ the remainder is

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Conceptos:aritmética modular dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Reduce $1999$ módulo $5$

Reduce $1999$ modulo $5$

Pista grande:

Las potencias pares de $-1$ módulo $5$ tienen el mismo residuo

Even powers of $-1$ modulo $5$ have the same remainder

Solución:

Nota que para hallar el residuo al dividir entre $5,$ solo importa la cifra de las unidades.

Esto significa que solo tenemos que observar cómo funcionan las potencias de la cifra de las unidades, es decir, las potencias de $9.$

Luego, observando las potencias de $9,$ vemos que la cifra de las unidades alterna entre $9$ y $1:$ $9, 81, 729, \cdots.$ Esto significa que $1999^{2000}$ termina en $1$ ya que la potencia es par.

El residuo al dividir entre $5$ es entonces $1,$ ya que es $1$ más que un múltiplo de $10.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that to find the remainder when divided by $5,$ we only care about the units digit.

This means we only have to observe how the powers of the units digit work, namely the powers of $9.$

Then, looking at powers of $9,$ we see that the units digit alternates between $9$ and $1:$ $9, 81, 729, \cdots.$ This means that $1999^{2000}$ ends in a $1$ since the power is even.

The remainder when divided by $5$ is then $1,$ since it is $1$ more than a multiple of $10.$

Thus, D is the correct answer.

25.

Los puntos $B,$ $D,$ y $J$ son puntos medios de los lados del triángulo rectángulo $ACG.$ Los puntos $K,$ $E,$ $I$ son puntos medios de los lados del triángulo $JDG,$ etc. Si el proceso de dividir y sombrear se realiza $100$ veces (se muestran los primeros tres) y $AC = CG = 6,$ entonces el área total de los triángulos sombreados es lo más cercano a

Points $B,$ $D,$ and $J$ are midpoints of the sides of right triangle $ACG.$ Points $K,$ $E,$ $I$ are midpoints of the sides of triangle $JDG,$ etc. If the dividing and shading process is done $100$ times (the first three are shown) and $AC = CG = 6,$ then the total area of the shaded triangles is nearest

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:sucesión geométrica semejanza

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Los triángulos sombreados forman un patrón geométrico de áreas

The shaded triangles form a geometric area pattern

Pista grande:

Cada nuevo triángulo sombreado tiene un cuarto del área sombreada anterior

Each new shaded triangle has one-fourth the previous shaded area

Solución:

El primer triángulo sombreado tiene catetos $3$ y $3$ , así que su área es $\dfrac12\cdot3\cdot3=\dfrac92$ .

En cada paso posterior, el triángulo correspondiente tiene la mitad de la longitud del cateto, así que el área sombreada se multiplica por $\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ .

Por lo tanto, el área sombreada total después de muchos pasos es muy cercana a la suma geométrica $\begin{gathered} \frac92\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right) \\ {}= \frac92\cdot\frac1{1-\frac{1}{4}} \\ {}= 6. \end{gathered}$

Después de $100$ pasos la cola omitida es diminuta, así que el área total es lo más cercana a $6$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The first shaded triangle has legs $3$ and $3$ , so its area is $\dfrac12\cdot3\cdot3=\dfrac92$ .

At each later step, the relevant triangle has half the leg length, so the shaded area is multiplied by $\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ .

The total shaded area after many steps is therefore very close to the geometric sum $\begin{gathered} \frac92\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right) \\ {}= \frac92\cdot\frac1{1-\frac{1}{4}} \\ {}= 6. \end{gathered}$

After $100$ steps the omitted tail is tiny, so the total area is nearest $6$ .

Thus, A is the correct answer.