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Problemas del 1999 AMC 8

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1.

Para que la afirmación (6 ? 3)+4−(2−1)=5(6 \ ? \ 3) + 4 - (2 - 1) = 5 sea verdadera, el signo de interrogación entre el 66 y el 33 debe reemplazarse por
(6 ? 3)+4−(2−1)=5.(6 \ ? \ 3) + 4 - (2 - 1) = 5. To make this statement true, the question mark between the 66 and the 33 should be replaced by
÷\div
×\times
++
−-
Ninguna de estas
None of these
Respuesta: A
Conceptos:orden de las operaciones
Nivel de dificultad: 370
Pista pequeña:
Simplifica primero la parte sin el signo de interrogación
Simplify the part without the question mark first
Pista grande:
Halla la operación que hace 6 ? 3=26\ ?\ 3=2
Find the operation that makes 6 ? 3=26\ ?\ 3=2
Solución:
Tenemos que 4−(2−1)=4−1=3. 4 - (2 - 1) = 4 - 1 = 3.
Entonces (6 ? 3)+3=5 (6 \ ? \ 3) + 3 = 5 6 ? 3=2. 6 \ ? \ 3 = 2.
La única opción que funciona es ÷.\div.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
We have that 4−(2−1)=4−1=3. 4 - (2 - 1) = 4 - 1 = 3.
Then (6 ? 3)+3=5 (6 \ ? \ 3) + 3 = 5 6 ? 3=2. 6 \ ? \ 3 = 2.
The only choice that works is ÷.\div.
Thus, A is the correct answer.

2.

¿Cuál es la medida en grados del ángulo más pequeño formado por las manecillas de un reloj a las 1010 en punto?
What is the degree measure of the smaller angle formed by the hands of a clock at 1010 o’clock?
3030
4545
6060
7575
9090
Respuesta: C
Conceptos:reloj
Nivel de dificultad: 450
Pista pequeña:
Cada marca de hora está separada 30∘30^\circ
Each hour mark is 30∘30^\circ apart
Pista grande:
A las 1010 en punto, las manecillas están separadas dos marcas de hora
At 1010 o’clock, the hands are two hour marks apart
Solución:
A las 1010 en punto, la manecilla de las horas está en el 1010 y la manecilla de los minutos está en el 12.12.
Esto significa que las manecillas están separadas 16\frac{1}{6} de todo el círculo. Esto es igual a 360∘⋅16=60∘. 360^{\circ} \cdot \dfrac{1}{6} = 60^{\circ}.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
At 1010 o’clock, we have that the hour hand is at 1010 and the minute hand is at 12.12.
This means that the hands are a 16\frac{1}{6} of the entire circle apart. This is equal to 360∘⋅16=60∘. 360^{\circ} \cdot \dfrac{1}{6} = 60^{\circ}.
Thus, C is the correct answer.

3.

¿Cuál terna de números tiene una suma que NO es igual a 11?
Which triplet of numbers has a sum NOT equal to 1?1?
(12,13,16)(\frac12,\frac13,\frac16)
(2,−2,1)(2,-2,1)
(0.1,0.3,0.6)(0.1,0.3,0.6)
(1.1,−2.1,1.0)(1.1,-2.1,1.0)
(−32,−52,5)(-\frac32,-\frac52,5)
Respuesta: D
Conceptos:fraccióndecimal
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
Calcula primero las sumas que parezcan más fáciles
Compute the easiest-looking sums first
Pista grande:
Solo una de las ternas listadas no suma 11
Only one listed triplet fails to total 11
Solución:
A es igual a 36+26+16=1. \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = 1.
B se reduce a 2−2+1=1. 2 - 2 + 1 = 1.
C suma 0.1+0.3+0.6=1. 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1.
Sin embargo, D suma 1.1−2.1+1.0=0. 1.1 - 2.1 + 1.0 = 0.
Para asegurarnos, verificamos que E tiene una suma de −82+5=5−4=1. -\dfrac{8}{2} + 5 = 5 - 4 = 1.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
We have that A is the same as 36+26+16=1. \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = 1.
B reduces to 2−2+1=1. 2 - 2 + 1 = 1.
C adds up to 0.1+0.3+0.6=1. 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1.
D however adds to 1.1−2.1+1.0=0. 1.1 - 2.1 + 1.0 = 0.
To make sure, we check that E has a sum of −82+5=5−4=1. -\dfrac{8}{2} + 5 = 5 - 4 = 1.
Thus, D is the correct answer.

4.

El diagrama muestra las millas recorridas por los ciclistas Alberto y Bjorn. Después de cuatro horas, ¿aproximadamente cuántas millas más ha recorrido Alberto que Bjorn?
The diagram shows the miles traveled by bikers Alberto and Bjorn. After four hours, about how many more miles has Alberto biked than Bjorn?
1515
2020
2525
3030
3535
Respuesta: A
Conceptos:interpretación de datos y gráficas
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Lee ambas distancias a las 44 horas
Read both distances at 44 hours
Pista grande:
Resta la distancia de Bjorn a la de Alberto
Subtract Bjorn’s distance from Alberto’s
Solución:
Observando la gráfica, tenemos que Alberto ha recorrido 6060 millas y Bjorn 4545 millas después de 44 horas.
La diferencia entre las dos distancias es 60−45=15 60 - 45 = 15 millas.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Looking at the graph, we have that Alberto has biked 6060 miles and Bjorn 4545 miles after 44 hours.
The difference between the two distances is 60−45=15 60 - 45 = 15 miles.
Thus, A is the correct answer.

5.

Un jardín rectangular de 5050 pies de largo y 1010 pies de ancho está cercado por una valla. Para agrandar el jardín usando la misma valla, su forma se cambia a un cuadrado. ¿En cuántos pies cuadrados se agranda el jardín?
A rectangular garden 5050 feet long and 1010 feet wide is enclosed by a fence. To make the garden larger, while using the same fence, its shape is changed to a square. By how many square feet does this enlarge the garden?
100100
200200
300300
400400
500500
Respuesta: D
Conceptos:perímetroárea
Nivel de dificultad: 770
Pista pequeña:
Mantén el mismo perímetro
Keep the perimeter the same
Pista grande:
El lado del cuadrado es un cuarto del perímetro anterior
The square side length is one-fourth of the old perimeter
Solución:
La longitud actual de la valla es 2(50+10)=2⋅60=120 2(50 + 10) = 2 \cdot 60 = 120 pies. Si todos los lados se hacen iguales, entonces cada lado mide 120÷4=30 120 \div 4 = 30 pies. Así, el área del cuadrado es 302=900 30^2 = 900 pies cuadrados. Nota que el área original del jardín es 50⋅10=500 50 \cdot 10 = 500 pies cuadrados.
Por lo tanto, la diferencia es 900−500=400 900 - 500 = 400 pies cuadrados.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
The current length of the fence is 2(50+10)=2⋅60=120 2(50 + 10) = 2 \cdot 60 = 120 feet. If all the sides become the same, then each side length is 120÷4=30 120 \div 4 = 30 feet. As such, the area of the square is then 302=900 30^2 = 900 square feet. Note that the original area of the garden is 50⋅10=500 50 \cdot 10 = 500 square feet.
Therefore, the difference is 900−500=400 900 - 500 = 400 square feet.
Thus, D is the correct answer.

6.

Bo, Coe, Flo, Jo y Moe tienen cantidades diferentes de dinero. Ni Jo ni Bo tienen tanto dinero como Flo. Tanto Bo como Coe tienen más que Moe. Jo tiene más que Moe, pero menos que Bo. ¿Quién tiene la menor cantidad de dinero?
Bo, Coe, Flo, Jo, and Moe have different amounts of money. Neither Jo nor Bo has as much money as Flo. Both Bo and Coe have more than Moe. Jo has more than Moe, but less than Bo. Who has the least amount of money?
Bo
Coe
Flo
Jo
Moe
Respuesta: E
Conceptos:deducción lógicadesigualdad
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
Elimina a quien se sepa que tiene más que otra persona
Eliminate anyone known to have more than someone else
Pista grande:
Usa cada comparación para mostrar quién está por encima de Moe
Use each comparison to show who is above Moe
Solución:
Sean B,C,F,J,B, C, F, J, y MM la cantidad de dinero que tienen Bo, Coe, Flo, Jo y Moe respectivamente.
Entonces J<F,B<F. J \lt F,\quad B \lt F.
También tenemos B>M,C>M. B \gt M,\quad C \gt M.
Finalmente, se nos da M<J<B. M \lt J \lt B.
A partir de la primera y segunda desigualdades, obtenemos que F>M.F \gt M.
Esto muestra que todos tienen más dinero que Moe.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Let B,C,F,J,B, C, F, J, and MM represent the amount of money that Bo, Coe, Flo, Jo, and Moe have respectively.
Then J<F,B<F. J \lt F,\quad B \lt F.
We also have B>M,C>M. B \gt M,\quad C \gt M.
Finally, we are given M<J<B. M \lt J \lt B.
From the first and second inequalities, we can get that F>M.F \gt M.
This shows that everyone has more money than Moe.
Thus, E is the correct answer.

7.

La tercera salida de una autopista está en el marcador de milla 4040 y la décima salida está en el marcador de milla 160.160. Hay un centro de servicio en la autopista ubicado a tres cuartos del camino desde la tercera salida hasta la décima salida. ¿En qué marcador de milla esperarías encontrar este centro de servicio?
The third exit on a highway is located at milepost 4040 and the tenth exit is at milepost 160.160. There is a service center on the highway located three-fourths of the way from the third exit to the tenth exit. At what milepost would you expect to find this service center?
9090
100100
110110
120120
130130
Respuesta: E
Conceptos:fracción
Nivel de dificultad: 900
Pista pequeña:
Primero halla la distancia entre los marcadores de milla 4040 y 160160
First find the distance between mileposts 4040 and 160160
Pista grande:
Avanza 34\frac{3}{4} de esa distancia desde el marcador de milla 4040
Move 34\frac{3}{4} of that distance past milepost 4040
Solución:
Hay 160−40=120160 - 40 = 120 millas entre la tercera y la décima salida.
Esto significa que 34\frac{3}{4} del camino se encuentra en el marcador de milla 40+34⋅120=130 40 + \dfrac{3}{4} \cdot 120 = 130 de la autopista.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
There are 160−40=120160 - 40 = 120 miles between the third and tenth exits.
This means 34\frac{3}{4} of the way is at the 40+34⋅120=130 40 + \dfrac{3}{4} \cdot 120 = 130 milepost.
Thus, E is the correct answer.

8.

Seis cuadrados están coloreados por delante y por detrás: RR significa rojo, BB azul, OO naranja, YY amarillo, GG verde y WW blanco. Están unidos con bisagras como se muestra, luego se doblan para formar un cubo. La cara opuesta a la cara blanca es
Six squares are colored, front and back (RR = red, BB = blue, OO = orange, YY = yellow, GG = green, and WW = white). They are hinged together as shown, then folded to form a cube. The face opposite the white face is
BB
GG
OO
RR
YY
Respuesta: A
Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Dobla alrededor del cuadrado marcado YY
Fold around the square marked YY
Pista grande:
Sigue qué cara queda opuesta a WW
Track which face lands opposite WW
Solución:
Considera el cubo con la cara amarilla hacia arriba.
Entonces podemos doblar hacia abajo las caras blanca, verde y naranja.
Como la cara azul está unida a la cara verde, terminará doblándose hacia atrás.
Esto significa que la cara azul quedará opuesta a la cara blanca.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Consider the cube with the yellow face facing upwards.
Then we can fold the white, green, and orange faces down.
Since the blue face is attached to the green face, it will end up folding backwards.
This means that the blue face will end up facing opposite the white face.
Thus, A is the correct answer.

9.

Tres macizos de flores se superponen como se muestra. El macizo AA tiene 500500 plantas, el macizo BB tiene 450450 plantas y el macizo CC tiene 350350 plantas. Los macizos AA y BB comparten 5050 plantas, mientras que los macizos AA y CC comparten 100.100. El número total de plantas es
Three flower beds overlap as shown. Bed AA has 500500 plants, bed BB has 450450 plants, and bed CC has 350350 plants. Beds AA and BB share 5050 plants, while beds AA and CC share 100.100. The total number of plants is
850850
10001000
11501150
13001300
14501450
Respuesta: C
Conceptos:inclusión-exclusiónDiagrama de Venn
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
Suma primero las cantidades de los tres macizos
Add the three bed counts first
Pista grande:
Resta las superposiciones que se contaron dos veces
Subtract the overlaps that were counted twice
Solución:
Nota que hay 50+100=15050 + 100 = 150 plantas que están en dos macizos y no hay plantas en los tres macizos a la vez.
Entonces el número total de plantas es 500+450+350−150=1150. 500 + 450 + 350 - 150 = 1150. Restamos las superposiciones para eliminar las plantas que contamos dos veces.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Note there are 50+100=15050 + 100 = 150 plants that are in two beds and there are no plants in all three beds.
The total number of plants is then 500+450+350−150=1150. 500 + 450 + 350 - 150 = 1150. We subtract to get rid of the plants that we counted twice.
Thus, C is the correct answer.

10.

Un ciclo completo de un semáforo dura 6060 segundos. Durante cada ciclo la luz está verde 2525 segundos, amarilla 55 segundos y roja 3030 segundos. En un instante elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la luz NO esté verde?
A complete cycle of a traffic light takes 6060 seconds. During each cycle the light is green for 2525 seconds, yellow for 55 seconds, and red for 3030 seconds. At a randomly chosen time, what is the probability that the light will NOT be green?
14\dfrac{1}{4}
13\dfrac{1}{3}
512\dfrac{5}{12}
12\dfrac{1}{2}
712\dfrac{7}{12}
Respuesta: E
Conceptos:probabilidad geométricaprobabilidad complementaria
Nivel de dificultad: 980
Pista pequeña:
No verde significa rojo o amarillo
Not green means red or yellow
Pista grande:
Usa el tiempo en que no está verde dividido por el tiempo total del ciclo
Use time not green over total cycle time
Solución:
Durante un ciclo dado, la luz no está verde durante 30+5=3530 + 5 = 35 segundos.
Entonces la probabilidad de que no esté verde es 3560=712. \dfrac{35}{60} = \dfrac{7}{12}.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
During a given cycle, the light is not green for 30+5=3530 + 5 = 35 seconds.
Then the probability that it is not green is 3560=712. \dfrac{35}{60} = \dfrac{7}{12}.
Thus, E is the correct answer.

11.

Cada uno de los cinco números 1,1, 4,4, 7,7, 10,10, y 1313 se coloca en uno de los cinco cuadrados de modo que la suma de los tres números de la fila horizontal sea igual a la suma de los tres números de la columna vertical. El mayor valor posible para la suma horizontal o vertical es
Each of the five numbers 1,1, 4,4, 7,7, 10,10, and 1313 is placed in one of the five squares so that the sum of the three numbers in the horizontal row equals the sum of the three numbers in the vertical column. The largest possible value for the horizontal or vertical sum is
2020
2121
2222
2424
3030
Respuesta: D
Conceptos:optimizacióndoble conteo
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
El cuadrado central se cuenta en ambas sumas
The center square is counted in both sums
Pista grande:
Maximiza el número central, luego divide el total duplicado en partes iguales
Maximize the center number, then split the doubled total equally
Solución:
Sea xx el número del centro. La suma horizontal más la suma vertical cuenta cada número una vez, salvo el número central, que se cuenta dos veces.
Por tanto, el doble de la suma común es 1+4+7+10+13+x1+4+7+10+13+x =35+x=35+x. Este valor es máximo cuando x=13x=13.
Así, la mayor suma común posible es a lo sumo 35+132=24\dfrac{35+13}{2}=24, y se puede alcanzar: se coloca 1313 en el centro, 11 y 1010 en los extremos de una fila, y 44 y 77 en los extremos de la otra. Ambas sumas son 2424.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let xx be the number in the center. The horizontal sum plus the vertical sum counts every number once, except the center number is counted twice.
So twice the common sum is 1+4+7+10+13+x1+4+7+10+13+x =35+x=35+x. This is largest when x=13x=13.
The largest common sum is therefore at most 35+132=24\dfrac{35+13}{2}=24, and it is attainable: put 1313 in the center, 11 and 1010 at the ends of one row, and 44 and 77 at the ends of the other. Both sums are 2424.
Thus, D is the correct answer.

12.

La razón entre el número de partidos ganados y el número de partidos perdidos (sin empates) por los Middle School Middies es 114.\frac{11}{4}. Redondeado al porcentaje entero más cercano, ¿qué porcentaje de sus partidos perdió el equipo?
The ratio of the number of games won to the number of games lost (no ties) by the Middle School Middies is 114.\frac{11}{4}. To the nearest whole percent, what percent of its games did the team lose?
24%24\%
27%27\%
36%36\%
45%45\%
73%73\%
Respuesta: B
Conceptos:razón y proporciónporcentaje
Nivel de dificultad: 1120
Pista pequeña:
Usa 1111 victorias y 44 derrotas como un grupo
Use 1111 wins and 44 losses as one batch
Pista grande:
La fracción de partidos perdidos es el número de derrotas dividido entre el total de partidos
The lost fraction is losses over total games
Solución:
Se puede ver al equipo como ganando 1111 partidos y perdiendo 44 partidos en cada grupo de 1515 partidos.
El porcentaje perdido es 415⋅100%≈27%\dfrac4{15}\cdot100\%\approx 27\%.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
The team can be viewed as winning 1111 games and losing 44 games in each batch of 1515 games.
The percent lost is 415⋅100%≈27%\dfrac4{15}\cdot100\%\approx 27\%.
Thus, B is the correct answer.

13.

La edad promedio de los 4040 miembros de un campamento de ciencias de la computación es de 1717 años. Hay 2020 chicas, 1515 chicos y 55 adultos. Si la edad promedio de las chicas es 1515 y la edad promedio de los chicos es 16,16, ¿cuál es la edad promedio de los adultos?
The average age of the 4040 members of a computer science camp is 1717 years. There are 2020 girls, 1515 boys, and 55 adults. If the average age of the girls is 1515 and the average age of the boys is 16,16, what is the average age of the adults?
2626
2727
2828
2929
3030
Respuesta: C
Conceptos:media
Nivel de dificultad: 1150
Pista pequeña:
Convierte cada promedio en una edad total
Convert each average into a total age
Pista grande:
Resta los totales de las chicas y los chicos del total del campamento
Subtract the girls’ and boys’ totals from the camp total
Solución:
La suma de las edades de todos en el campamento es 40⋅17=680. 40 \cdot 17 = 680.
La suma de las edades de las chicas es 20⋅15=300 20 \cdot 15 = 300 y la de los chicos es 15⋅16=240. 15 \cdot 16 = 240.
Por lo tanto, sabemos que la suma de las edades de los adultos debe ser 680−300−240=140. 680 - 300 - 240 = 140.
Y por lo tanto, la edad promedio de los adultos es 140÷5=28. 140 \div 5 = 28.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The sum of the ages of everybody at the camp is 40⋅17=680. 40 \cdot 17 = 680.
The sum of the ages of the girls is 20⋅15=300 20 \cdot 15 = 300 and of the boys is 15⋅16=240. 15 \cdot 16 = 240.
As such, we know that the ages of the adults must be 680−300−240=140. 680 - 300 - 240 = 140.
And therefore, the average age of the adults is then 140÷5=28. 140 \div 5 = 28.
Thus, C is the correct answer.

14.

En el trapecio ABCD,ABCD, los lados ABAB y CDCD son iguales. El perímetro de ABCDABCD es
In trapezoid ABCD,ABCD, the sides ABAB and CDCD are equal. The perimeter of ABCDABCD is
2727
3030
3232
3434
4848
Respuesta: D
Conceptos:trapecioTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1220
Pista pequeña:
Traza una altura desde BB
Drop an altitude from BB
Pista grande:
Los dos triángulos rectángulos laterales tienen cateto horizontal 44
The two side right triangles have horizontal leg 44
Solución:
Sea HH el punto donde la altura desde BB hasta AD‾\overline{AD} interseca a AD‾.\overline{AD}.
Entonces tenemos que AH=16−82=4, AH = \dfrac{16 - 8}{2} = 4, ya que AB=CD.AB = CD.
Luego, AB=42+32=25=5. AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.
Por lo tanto, el perímetro es 8+16+2⋅5=34. 8 + 16 + 2 \cdot 5 = 34.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let HH be where the altitude from BB to AD‾\overline{AD} intersects AD‾.\overline{AD}.
Then we have that AH=16−82=4, AH = \dfrac{16 - 8}{2} = 4, since AB=CD.AB = CD.
We then have that AB=42+32=25=5. AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.
Then the perimeter is 8+16+2⋅5=34. 8 + 16 + 2 \cdot 5 = 34.
Thus, D is the correct answer.

15.

Las placas de bicicleta en Flatville contienen cada una tres letras. La primera se elige del conjunto {C,H,L,P,R},\{C,H,L,P,R\}, la segunda de {A,I,O},\{A,I,O\}, y la tercera de {D,M,N,T}.\{D,M,N,T\}.
Cuando Flatville necesitó más placas, agregaron dos letras nuevas. Ambas letras nuevas pueden agregarse a un mismo conjunto, o una letra puede agregarse a un conjunto y la otra a otro conjunto. ¿Cuál es el mayor número posible de placas adicionales que se pueden hacer agregando dos letras?
Bicycle license plates in Flatville each contain three letters. The first is chosen from the set {C,H,L,P,R},\{C,H,L,P,R\}, the second from {A,I,O},\{A,I,O\}, and the third from {D,M,N,T}.\{D,M,N,T\}.
When Flatville needed more license plates, they added two new letters. The new letters may both be added to one set or one letter may be added to one set and one to another set. What is the largest possible number of additional license plates that can be made by adding two letters?
2424
3030
3636
4040
6060
Respuesta: D
Conceptos:principio de multiplicaciónoptimizaciónanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
El número anterior de placas es 5⋅3⋅45\cdot3\cdot4
The old number of plates is 5⋅3⋅45\cdot3\cdot4
Pista grande:
Para maximizar un producto, haz que los tres factores estén lo más equilibrados posible
To maximize a product, make the three factors as balanced as possible
Solución:
Actualmente se pueden hacer 5⋅3⋅4=605 \cdot 3 \cdot 4 = 60 placas.
Si ambas letras se agregan al primer conjunto, entonces hay 7⋅3⋅4=84 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84 placas posibles.
Si ambas se agregan al segundo, hay 5⋅5⋅4=100 5 \cdot 5 \cdot 4 = 100 placas.
Si se agregan al tercero, hay 5⋅3⋅6=90 5 \cdot 3 \cdot 6 = 90 opciones.
Si una se agrega al primer conjunto y la otra al segundo, hay 6⋅4⋅4=96 6 \cdot 4 \cdot 4 = 96 placas.
Si una se agrega al primer conjunto y la otra al tercero, obtenemos 6⋅3⋅5=90 6 \cdot 3 \cdot 5 = 90 placas posibles.
Finalmente, si las letras se agregan al segundo y tercer conjuntos, hay 5⋅4⋅5=100 5 \cdot 4 \cdot 5 = 100 placas.
Vemos que 100100 es el mayor número de placas que podemos lograr. Esto son 100−60=40100 - 60 = 40 placas adicionales.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
There are currently 5⋅3⋅4=605 \cdot 3 \cdot 4 = 60 license plates that can be made.
If both letters are added to the first set, then there are 7⋅3⋅4=84 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84 possible plates.
If they are both added to the second, there are 5⋅5⋅4=100 5 \cdot 5 \cdot 4 = 100 plates.
If they are added to the third, there are 5⋅3⋅6=90 5 \cdot 3 \cdot 6 = 90 choices.
If one is added to the first set and the other to the second set, there are 6⋅4⋅4=96 6 \cdot 4 \cdot 4 = 96 plates.
If the other is added to the third set, we get 6⋅3⋅5=90 6 \cdot 3 \cdot 5 = 90 possible plates.
Finally, if the letters are added to the second and third sets, there are 5⋅4⋅5=100 5 \cdot 4 \cdot 5 = 100 plates.
We see that 100100 is the greatest number of plates that we can achieve. This is an additional 100−60=40100 - 60 = 40 plates.
Thus, D is the correct answer.

16.

El examen de matemáticas de Tori tenía 7575 problemas: 1010 de aritmética, 3030 de álgebra y 3535 de geometría. Aunque respondió correctamente el 70%70\% de los de aritmética, el 40%40\% de los de álgebra y el 60%60\% de los de geometría, no aprobó el examen porque acertó menos del 60%60\% de los problemas.
¿Cuántos problemas más habría necesitado responder correctamente para obtener una calificación aprobatoria del 60%60\%?
Tori’s mathematics test had 7575 problems: 1010 arithmetic, 3030 algebra, and 3535 geometry problems. Although she answered 70%70\% of the arithmetic, 40%40\% of the algebra, and 60%60\% of the geometry problems correctly, she did not pass the test because she got less than 60%60\% of the problems right.
How many more problems would she have needed to answer correctly to earn a 60%60\% passing grade?
11
55
77
99
1111
Respuesta: B
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 1230
Pista pequeña:
Calcula las respuestas correctas actuales de Tori por categoría
Compute Tori’s current correct answers by category
Pista grande:
Compara ese total con el 60%60\% de 7575
Compare that total with 60%60\% of 7575
Solución:
Respondió correctamente 10⋅0.7=7 10 \cdot 0.7 = 7 preguntas de aritmética. Respondió correctamente 30⋅0.4=12 30 \cdot 0.4 = 12 de álgebra. También acertó 35⋅0.6=2135 \cdot 0.6 = 21 preguntas de geometría.
Esto significa que acertó un total de 7+12+21=40 7 + 12 + 21 = 40 preguntas.
Por lo tanto, para obtener un 60%,60\%, Tori debía responder correctamente 75⋅0.6=45 75 \cdot 0.6 = 45 preguntas. Esto significa que habría necesitado responder correctamente 45−40=545 - 40 = 5 preguntas adicionales.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
She answered 10⋅0.7=7 10 \cdot 0.7 = 7 arithmetic questions correctly. She answered 30⋅0.4=12 30 \cdot 0.4 = 12 algebra ones correctly. She also got 35⋅0.6=2135 \cdot 0.6 = 21 geometry questions correctly.
This means she got a total of 7+12+21=40 7 + 12 + 21 = 40 questions correct.
As such, in order to get a 60%,60\%, Tori must have answered 75⋅0.6=45 75 \cdot 0.6 = 45 questions correctly. This means that she would have needed to answer an additional 45−40=545 - 40 = 5 questions correctly.
Thus, B is the correct answer.

17.

Los problemas 17,17, 18,18, y 1919 se refieren a lo siguiente:
Galletas para una multitud
En Central Middle School los 108108 estudiantes que participan en el AMC 88 se reúnen por la noche para hablar de problemas y comen en promedio dos galletas cada uno. Este año Walter y Gretel hornean las Bonnie’s Best Bar Cookies. Su receta, que hace una bandeja de 1515 galletas, incluye estos ingredientes: 1121\dfrac{1}{2} tazas de harina, 22 huevos, 33 cucharadas de mantequilla, 34\dfrac{3}{4} de taza de azúcar y 11 paquete de chispas de chocolate. Solo harán recetas completas, no recetas parciales.
Walter puede comprar huevos por media docena. ¿Cuántas medias docenas debe comprar para hacer suficientes galletas? (Pueden sobrar algunos huevos y algunas galletas.)
Problems 17,17, 18,18, and 1919 refer to the following:
Cookies For a Crowd
At Central Middle School the 108108 students who take the AMC 88 meet in the evening to talk about problems and eat an average of two cookies apiece. Walter and Gretel are baking Bonnie’s Best Bar Cookies this year. Their recipe, which makes a pan of 1515 cookies, lists these items: 1121\dfrac{1}{2} cups of flour, 22 eggs, 33 tablespoons butter, 34\dfrac{3}{4} cups sugar, and 11 package of chocolate drops. They will make only full recipes, not partial recipes.
Walter can buy eggs by the half-dozen. How many half-dozens should he buy to make enough cookies? (Some eggs and some cookies may be left over.)
11
22
55
77
1515
Respuesta: C
Conceptos:funciones piso y techoconversión de unidades
Nivel de dificultad: 1250
Pista pequeña:
Halla cuántas recetas completas se necesitan para 216216 galletas
Find how many full recipes are needed for 216216 cookies
Pista grande:
Cada receta completa usa 22 huevos
Each full recipe uses 22 eggs
Solución:
Como los estudiantes comen en promedio 22 galletas cada uno, comerán un total de 108⋅2=216108 \cdot 2 = 216 galletas.
Cada receta hace 1515 galletas, lo que significa que necesitamos ⌈21615⌉=15 \left\lceil\dfrac{216}{15}\right\rceil = 15 recetas completas para hacer suficientes galletas.
Cada bandeja requiere 22 huevos, lo que significa que necesitamos 15⋅2=3015 \cdot 2 = 30 huevos. Hay 66 huevos en media docena, así que necesitamos 30÷6=530 \div 6 = 5 medias docenas.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Since the students eat an average of 22 cookies each, they will eat a total of 108⋅2=216108 \cdot 2 = 216 cookies.
Each recipe makes 1515 cookies, which means we need ⌈21615⌉=15 \left\lceil\dfrac{216}{15}\right\rceil = 15 full recipes to make enough cookies.
Each pan requires 22 eggs, which means we need 15⋅2=3015 \cdot 2 = 30 eggs. There are 66 eggs in a half-dozen, so we need 30÷6=530 \div 6 = 5 half-dozens.
Thus, C is the correct answer.

18.

Se enteran de que hay un gran concierto programado para la misma noche y la asistencia bajará un 25%.25\%. ¿Cuántas recetas de galletas deben hacer para su fiesta más pequeña?
They learn that a big concert is scheduled for the same night and attendance will be down 25%.25\%. How many recipes of cookies should they make for their smaller party?
66
88
99
1010
1111
Respuesta: E
Conceptos:porcentajefunciones piso y techo
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Una caída del 25%25\% deja un 75%75\% de asistencia
A 25%25\% drop leaves 75%75\% attendance
Pista grande:
Redondea hacia arriba el número de recetas necesarias
Round the needed number of recipes up
Solución:
Ahora solo habrá 108⋅(1−14)=108⋅34=81 108 \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = 108 \cdot \dfrac{3}{4} = 81 personas en la fiesta. Esto significa que necesitamos ⌈81⋅215⌉=⌈16215⌉=11 \left\lceil \dfrac{81 \cdot 2}{15} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{162}{15} \right\rceil = 11 recetas.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
There will now only be 108⋅(1−14)=108⋅34=81 108 \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = 108 \cdot \dfrac{3}{4} = 81 people at the party. This means we need ⌈81⋅215⌉=⌈16215⌉=11 \left\lceil \dfrac{81 \cdot 2}{15} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{162}{15} \right\rceil = 11 recipes.
Thus, E is the correct answer.

19.

El baterista se enferma. El concierto se cancela. Walter y Gretel deben hacer suficientes bandejas de galletas para proveer 216216 galletas. Hay 88 cucharadas en una barra de mantequilla. ¿Cuántas barras de mantequilla se necesitarán? (Por supuesto, puede sobrar algo de mantequilla.)
The drummer gets sick. The concert is cancelled. Walter and Gretel must make enough pans of cookies to supply 216216 cookies. There are 88 tablespoons in a stick of butter. How many sticks of butter will be needed? (Some butter may be left over, of course.)
55
66
77
88
99
Respuesta: B
Conceptos:conversión de unidadesfunciones piso y techo
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Primero redondea hacia arriba el número de bandejas
First round the number of pans up
Pista grande:
Convierte las cucharadas de mantequilla en barras y redondea hacia arriba
Convert tablespoons of butter to sticks and round up
Solución:
Para hacer 216216 galletas, tienen que hacer ⌈21615⌉=15 \left\lceil \dfrac{216}{15} \right\rceil = 15 bandejas. Como cada bandeja requiere 33 cucharadas de mantequilla, todas las bandejas necesitarán 15⋅3=4515 \cdot 3 = 45 cucharadas.
Entonces necesitarán ⌈458⌉=6 \left\lceil \dfrac{45}{8} \right\rceil = 6 barras de mantequilla.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
To make 216216 cookies, they have to make ⌈21615⌉=15 \left\lceil \dfrac{216}{15} \right\rceil = 15 pans. Since each pan requires 33 tablespoons of butter, all the pans will need 15⋅3=4515 \cdot 3 = 45 tablespoons.
They will then need ⌈458⌉=6 \left\lceil \dfrac{45}{8} \right\rceil = 6 sticks of butter.
Thus, B is the correct answer.

20.

La figura 11 se llama “mapa de pilas”. Los números indican cuántos cubos hay apilados en cada posición. La Fig. 22 muestra estos cubos, y la Fig. 33 muestra la vista de los cubos apilados vistos desde el frente.
¿Cuál de las siguientes es la vista frontal del mapa de pilas de la Fig. 44?
Figure 11 is called a “stack map.” The numbers tell how many cubes are stacked in each position. Fig. 22 shows these cubes, and Fig. 33 shows the view of the stacked cubes as seen from the front.
Which of the following is the front view for the stack map in Fig. 4?4?
Respuesta: B
Conceptos:Geometría 3D
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Una vista frontal conserva solo la pila más alta en cada columna
A front view keeps only the taller stack in each column
Pista grande:
Para cada columna, toma la mayor altura entre el frente y el fondo
For each column, take the larger front/back height
Solución:
Nota que la altura de la columna es la altura máxima entre las columnas del frente y del fondo.
En la columna izquierda, la columna del fondo es más alta con altura 2.2.
En la columna del medio, la columna del frente es más alta con altura 3.3.
Finalmente, la columna derecha tiene altura 4.4.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Note that the height of the column is the maximum height of the front and back columns.
In the left column, we have that the back column is taller with height 2.2.
In the middle column, we have that the front column is taller with height 3.3.
Finally, the right column has height 4.4.
Thus, B is the correct answer.

21.

La medida en grados del ángulo AA es
The degree measure of angle AA is
2020
3030
3535
4040
4545
Respuesta: B
Conceptos:persecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1520
Pista pequeña:
Usa ángulos suplementarios en las dos intersecciones
Use supplementary angles at the two intersections
Pista grande:
Luego usa la suma de los ángulos de un triángulo cerca del ángulo de 40∘40^\circ
Then use a triangle angle sum near the 40∘40^\circ angle
Solución:
Marca los vértices como se muestra a continuación.
Por ángulos suplementarios, tenemos ∠ABC=180∘−100∘=80∘. \angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}. Luego, de nuevo por ángulos suplementarios, tenemos ∠CED=180∘−110∘=70∘. \angle CED = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}. Usando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180∘,180^{\circ}, obtenemos ∠ECD=180∘−70∘−40∘=70∘. \begin{aligned} \angle ECD &= 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} \\ &= 70^{\circ}. \end{aligned} Luego, usando ángulos opuestos por el vértice, tenemos ∠ACB=∠ECD=70∘. \angle ACB = \angle ECD = 70^{\circ}. Finalmente, usando la suma de los ángulos interiores de un triángulo, obtenemos ∠A=180∘−80∘−70∘=30∘. \angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Label the vertices as below.
We then have that ∠ABC=180∘−100∘=80∘ \angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} by supplementary angles. Then we have ∠CED=180∘−110∘=70∘ \angle CED = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} again by supplementary angles. Using the sum of the interior angles of a triangle is 180∘,180^{\circ}, we get ∠ECD=180∘−70∘−40∘=70∘. \begin{aligned} \angle ECD &= 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} \\ &= 70^{\circ}. \end{aligned} Then, using vertical angles, we have ∠ACB=∠ECD=70∘. \angle ACB = \angle ECD = 70^{\circ}. Finally, using the sum of the interior angles of a triangle, we get ∠A=180∘−80∘−70∘=30∘. \angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}.
Thus, B is the correct answer.

22.

En una tierra lejana, tres peces se pueden cambiar por dos hogazas de pan, y una hogaza de pan se puede cambiar por cuatro bolsas de arroz. ¿Cuántas bolsas de arroz vale un pez?
In a far-off land three fish can be traded for two loaves of bread and a loaf of bread can be traded for four bags of rice. How many bags of rice is one fish worth?
38\dfrac{3}{8}
12\dfrac{1}{2}
34\dfrac{3}{4}
2232\dfrac{2}{3}
3133\dfrac{1}{3}
Respuesta: D
Conceptos:razón y proporciónconversión de unidades
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Convierte cada intercambio en una ecuación de valor
Turn each trade into a value equation
Pista grande:
Convierte peces a pan, luego pan a arroz
Convert fish to bread, then bread to rice
Solución:
Tres peces valen dos hogazas de pan, así que un pez vale 23\dfrac23 de una hogaza.
Una hogaza vale 44 bolsas de arroz, así que un pez vale 23⋅4=83=223\dfrac23\cdot4=\dfrac83=2\dfrac23 bolsas de arroz.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Three fish are worth two loaves of bread, so one fish is worth 23\dfrac23 of a loaf.
One loaf is worth 44 bags of rice, so one fish is worth 23⋅4=83=223\dfrac23\cdot4=\dfrac83=2\dfrac23 bags of rice.
Thus, D is the correct answer.

23.

El cuadrado ABCDABCD tiene lados de longitud 3.3. Los segmentos CMCM y CNCN dividen el área del cuadrado en tres partes iguales. ¿Cuánto mide el segmento CMCM?
Square ABCDABCD has sides of length 3.3. Segments CMCM and CNCN divide the square’s area into three equal parts. How long is segment CM?CM?
10\sqrt{10}
12\sqrt{12}
13\sqrt{13}
14\sqrt{14}
15\sqrt{15}
Respuesta: C
Conceptos:área del triánguloTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1520
Pista pequeña:
Cada una de las tres regiones tiene un área igual a un tercio del cuadrado
Each of the three regions has area one-third of the square
Pista grande:
Usa el área de △BMC\triangle BMC para hallar BMBM
Use the area of △BMC\triangle BMC to find BMBM
Solución:
El área del cuadrado es 32=9,3^2 = 9, lo que significa que el área de una región es 9÷3=3.9 \div 3 = 3.
Esto significa que el área de △BMC\triangle BMC es 3,3, lo que significa que 12⋅3⋅BM=3 \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot BM = 3 BM=2. BM = 2.
Como △BMC\triangle BMC es rectángulo, tenemos CM=22+32=13. CM = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The area of the square is 32=9,3^2 = 9, which means that the area of one region is 9÷3=3.9 \div 3 = 3.
This means the area of △BMC\triangle BMC is 3,3, which means that 12⋅3⋅BM=3 \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot BM = 3 BM=2. BM = 2.
Since △BMC\triangle BMC is right, we have CM=22+32=13. CM = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}.
Thus, C is the correct answer.

24.

Cuando 199920001999^{2000} se divide entre 5,5, el residuo es
When 199920001999^{2000} is divided by 5,5, the remainder is
44
33
22
11
00
Respuesta: D
Conceptos:aritmética modulardígito de las unidades
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Reduce 19991999 módulo 55
Reduce 19991999 modulo 55
Pista grande:
Las potencias pares de −1-1 módulo 55 tienen el mismo residuo
Even powers of −1-1 modulo 55 have the same remainder
Solución:
Nota que para hallar el residuo al dividir entre 5,5, solo importa la cifra de las unidades.
Esto significa que solo tenemos que observar cómo funcionan las potencias de la cifra de las unidades, es decir, las potencias de 9.9.
Luego, observando las potencias de 9,9, vemos que la cifra de las unidades alterna entre 99 y 1:1: 9,81,729,⋯ . 9, 81, 729, \cdots. Esto significa que 199920001999^{2000} termina en 11 ya que la potencia es par.
El residuo al dividir entre 55 es entonces 1,1, ya que es 11 más que un múltiplo de 10.10.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Note that to find the remainder when divided by 5,5, we only care about the units digit.
This means we only have to observe how the powers of the units digit work, namely the powers of 9.9.
Then, looking at powers of 9,9, we see that the units digit alternates between 99 and 1:1: 9,81,729,⋯ . 9, 81, 729, \cdots. This means that 199920001999^{2000} ends in a 11 since the power is even.
The remainder when divided by 55 is then 1,1, since it is 11 more than a multiple of 10.10.
Thus, D is the correct answer.

25.

Los puntos B,B, D,D, y JJ son puntos medios de los lados del triángulo rectángulo ACG.ACG. Los puntos K,K, E,E, II son puntos medios de los lados del triángulo JDG,JDG, etc. Si el proceso de dividir y sombrear se realiza 100100 veces (se muestran los primeros tres) y AC=CG=6,AC = CG = 6, entonces el área total de los triángulos sombreados es lo más cercano a
Points B,B, D,D, and JJ are midpoints of the sides of right triangle ACG.ACG. Points K,K, E,E, II are midpoints of the sides of triangle JDG,JDG, etc. If the dividing and shading process is done 100100 times (the first three are shown) and AC=CG=6,AC = CG = 6, then the total area of the shaded triangles is nearest
66
77
88
99
1010
Respuesta: A
Conceptos:sucesión geométricasemejanza
Nivel de dificultad: 1620
Pista pequeña:
Los triángulos sombreados forman un patrón geométrico de áreas
The shaded triangles form a geometric area pattern
Pista grande:
Cada nuevo triángulo sombreado tiene un cuarto del área sombreada anterior
Each new shaded triangle has one-fourth the previous shaded area
Solución:
El primer triángulo sombreado tiene catetos 33 y 33, así que su área es 12⋅3⋅3=92\dfrac12\cdot3\cdot3=\dfrac92.
En cada paso posterior, el triángulo correspondiente tiene la mitad de la longitud del cateto, así que el área sombreada se multiplica por (12)2=14\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14.
Por lo tanto, el área sombreada total después de muchos pasos es muy cercana a la suma geométrica 92(1+14+116+⋯ )=92⋅11−14=6. \begin{gathered} \frac92\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right) \\ {}= \frac92\cdot\frac1{1-\frac{1}{4}} \\ {}= 6. \end{gathered}
Después de 100100 pasos la cola omitida es diminuta, así que el área total es lo más cercana a 66.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
The first shaded triangle has legs 33 and 33, so its area is 12⋅3⋅3=92\dfrac12\cdot3\cdot3=\dfrac92.
At each later step, the relevant triangle has half the leg length, so the shaded area is multiplied by (12)2=14\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14.
The total shaded area after many steps is therefore very close to the geometric sum 92(1+14+116+⋯ )=92⋅11−14=6. \begin{gathered} \frac92\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right) \\ {}= \frac92\cdot\frac1{1-\frac{1}{4}} \\ {}= 6. \end{gathered}
After 100100 steps the omitted tail is tiny, so the total area is nearest 66.
Thus, A is the correct answer.