Soluciones del 1993 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Qué par de números no tiene un producto igual a $36$ ?

Which pair of numbers does not have a product equal to $36?$

$\{-4, -9\}$

$\{-3, -12\}$

$\left\{\dfrac12, -72\right\}$

$\{1, 36\}$

$\left\{\dfrac32, 24\right\}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Multiplica los dos números de cada par y verifica cuál producto no es $36$

Multiply the two numbers in each pair and check which product is not $36$

Pista grande:

Un número negativo por un número negativo es positivo, así que ten cuidado con los signos de $\dfrac12 \times (-72)$

A negative times a negative is positive, so watch the signs of $\dfrac12 \times (-72)$

Solución:

Revisando cada par: $(-4)(-9) = 36,$ $(-3)(-12) = 36,$ $\dfrac12 \times (-72) = -36,$ $(1)(36) = 36,$ y $\dfrac32 \times 24 = 36.$

Solo $\dfrac12 \times (-72) = -36$ no es igual a $36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Checking each pair: $(-4)(-9) = 36,$ $(-3)(-12) = 36,$ $\dfrac12 \times (-72) = -36,$ $(1)(36) = 36,$ and $\dfrac32 \times 24 = 36.$

Only $\dfrac12 \times (-72) = -36$ fails to equal $36.$

Thus, the correct answer is C .

2.

Cuando la fracción $\dfrac{49}{84}$ se expresa en su forma más simple, la suma del numerador y el denominador será

When the fraction $\dfrac{49}{84}$ is expressed in simplest form, then the sum of the numerator and the denominator will be

$11$

$17$

$19$

$33$

$133$

Conceptos:fracción máximo común divisor

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Encuentra el máximo común divisor de $49$ y $84$

Find the greatest common factor of $49$ and $84$

Pista grande:

$49 = 7^2$ y $84 = 7 \times 12,$ así que divide ambos entre $7$

$49 = 7^2$ and $84 = 7 \times 12,$ so divide both by $7$

Solución:

Como $49 = 7 \times 7$ y $84 = 7 \times 12,$ la fracción se reduce a $\dfrac{7}{12}.$

La suma del numerador y el denominador es $7 + 12 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $49 = 7 \times 7$ and $84 = 7 \times 12,$ the fraction reduces to $\dfrac{7}{12}.$

The sum of numerator and denominator is $7 + 12 = 19.$

Thus, the correct answer is C .

3.

¿Cuál de los siguientes números tiene el mayor factor primo?

Which of the following numbers has the largest prime factor?

$39$

$51$

$77$

$91$

$121$

Conceptos:factorización en primos primo

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Factoriza cada número completamente en primos

Factor each number completely into primes

Pista grande:

Compara el mayor primo de cada factorización; observa que $51 = 3 \times 17$

Compare the largest prime in each factorization; note $51 = 3 \times 17$

Solución:

Factorizando: $39 = 3 \times 13,$ $51 = 3 \times 17,$ $77 = 7 \times 11,$ $91 = 7 \times 13,$ y $121 = 11 \times 11.$

El mayor factor primo entre estos es $17,$ que es un factor de $51.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring: $39 = 3 \times 13,$ $51 = 3 \times 17,$ $77 = 7 \times 11,$ $91 = 7 \times 13,$ and $121 = 11 \times 11.$

The largest prime factor among these is $17,$ which is a factor of $51.$

Thus, the correct answer is B .

4.

$1000 \times 1993 \times 0.1993 \times 10 =$

$1.993 \times 10^3$

$1993.1993$

$(199.3)^2$

$1{,}993{,}001.993$

$(1993)^2$

Conceptos:valor posicional exponente

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Agrupa las potencias de diez: $1000 \times 10 = 10000$

Group the powers of ten: $1000 \times 10 = 10000$

Pista grande:

$10000 \times 0.1993 = 1993,$ así que el producto es $1993 \times 1993$

$10000 \times 0.1993 = 1993,$ so the product is $1993 \times 1993$

Solución:

Reagrupa como $(1000 \times 10)$ $\times 0.1993$ $\times 1993$ $= 10000$ $\times 0.1993$ $\times 1993.$

Como $10000 \times 0.1993 = 1993,$ el producto es $1993 \times 1993 = (1993)^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Regroup as $(1000 \times 10)$ $\times 0.1993$ $\times 1993$ $= 10000$ $\times 0.1993$ $\times 1993.$

Since $10000 \times 0.1993 = 1993,$ the product is $1993 \times 1993 = (1993)^2.$

Thus, the correct answer is E .

5.

¿Cuál de las siguientes gráficas de barras podría representar los datos de la gráfica circular mostrada?

Which one of the following bar graphs could represent the data from the circle graph shown?

Conceptos:interpretación de datos y gráficas razón y proporción

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Decide qué fracción del círculo completo ocupa cada una de las tres regiones

Decide what fraction of the whole circle each of the three regions takes up

Pista grande:

Cada región sombreada es un cuarto y la región sin sombrear es la mitad, así que las tres barras deben tener alturas en la proporción $1 : 1 : 2$

Each shaded region is a quarter and the unshaded region is a half, so the three bars should have heights in the ratio $1 : 1 : 2$

Solución:

Las dos regiones sombreadas son cada una un cuarto del círculo, y la región sin sombrear es la mitad. Así que las tres cantidades están en la proporción $\tfrac14 : \tfrac14 : \tfrac12,$ o $1 : 1 : 2.$

Una gráfica de barras que coincida debe tener las dos barras sombreadas iguales en altura y la barra sin sombrear exactamente el doble de alta. Solo una gráfica de barras tiene dos barras sombreadas iguales con la barra blanca del doble de su altura.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two shaded regions are each one quarter of the circle, and the unshaded region is one half. So the three quantities are in the ratio $\tfrac14 : \tfrac14 : \tfrac12,$ or $1 : 1 : 2.$

A matching bar graph must have the two shaded bars equal in height and the unshaded bar exactly twice as tall. Only one bar graph has two equal shaded bars with the white bar double their height.

Thus, the correct answer is C .

6.

Una lata de sopa puede alimentar a $3$ adultos o $5$ niños. Si hay $5$ latas de sopa y se alimenta a $15$ niños, ¿a cuántos adultos alimentaría la sopa restante?

A can of soup can feed $3$ adults or $5$ children. If there are $5$ cans of soup and $15$ children are fed, then how many adults would the remaining soup feed?

$5$

$6$

$7$

$8$

$10$

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

$15$ niños necesitan $15 \div 5 = 3$ latas, así que encuentra cuántas latas quedan

$15$ children need $15 \div 5 = 3$ cans, so find how many cans remain

Pista grande:

Cada lata restante alimenta a $3$ adultos

Each remaining can feeds $3$ adults

Solución:

Alimentar a $15$ niños usa $15 \div 5 = 3$ latas, dejando $5 - 3 = 2$ latas.

Esas $2$ latas alimentan a $2 \times 3 = 6$ adultos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Feeding $15$ children uses $15 \div 5 = 3$ cans, leaving $5 - 3 = 2$ cans.

Those $2$ cans feed $2 \times 3 = 6$ adults.

Thus, the correct answer is B .

7.

$3^3 + 3^3 + 3^3 =$

$3^4$

$9^3$

$3^9$

$27^3$

$3^{27}$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Sumar tres copias de $3^3$ es lo mismo que $3 \times 3^3$

Adding three copies of $3^3$ is the same as $3 \times 3^3$

Pista grande:

$3 \times 3^3 = 3^{1+3}$

Solución:

Sumando tres términos iguales, $3^3 + 3^3 + 3^3 = 3 \times 3^3 = 3^4 = 81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding three equal terms, $3^3 + 3^3 + 3^3 = 3 \times 3^3 = 3^4 = 81.$

Thus, the correct answer is A .

8.

Para controlar su presión arterial, la abuela de Jill toma media pastilla cada dos días. Si un suministro de medicina contiene $60$ pastillas, entonces el suministro de medicina durará aproximadamente

To control her blood pressure, Jill’s grandmother takes one half of a pill every other day. If one supply of medicine contains $60$ pills, then the supply of medicine will last approximately

$1$ mes

$1$ month

$4$ meses

$4$ months

$6$ meses

$6$ months

$8$ meses

$8$ months

$1$ año

$1$ year

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Media pastilla cada dos días significa que una pastilla entera cubre $4$ días

Half a pill every other day means one whole pill covers $4$ days

Pista grande:

Encuentra el número total de días, luego conviértelo a meses usando unos $30$ días por mes

Find the total number of days, then convert to months using about $30$ days per month

Solución:

Toma media pastilla cada dos días, así que una pastilla dura $4$ días. Entonces $60$ pastillas duran $60 \times 4 = 240$ días.

A unos $30$ días por mes, eso es aproximadamente $240 \div 30 = 8$ meses.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

She takes half a pill every two days, so one pill lasts $4$ days. Then $60$ pills last $60 \times 4 = 240$ days.

At about $30$ days per month, that is roughly $240 \div 30 = 8$ months.

Thus, the correct answer is D .

9.

Considera la operación $*$ definida por la siguiente tabla:

$\begin{array}{c|cccc} * & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}$

Por ejemplo, $3 * 2 = 1.$ Entonces $(2 * 4) * (1 * 3) =$

Consider the operation $*$ defined by the following table:

$\begin{array}{c|cccc} * & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}$

For example, $3 * 2 = 1.$ Then $(2 * 4) * (1 * 3) =$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:operación personalizada

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Lee $2 * 4$ de la fila $2,$ columna $4,$ y $1 * 3$ de la fila $1,$ columna $3$

Read $2 * 4$ from row $2,$ column $4,$ and $1 * 3$ from row $1,$ column $3$

Pista grande:

Ambos valores internos son iguales a $3,$ así que calcula $3 * 3$ de la tabla

Both inner values equal $3,$ so compute $3 * 3$ from the table

Solución:

De la tabla, $2 * 4 = 3$ y $1 * 3 = 3.$

Entonces $(2 * 4) * (1 * 3) = 3 * 3 = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From the table, $2 * 4 = 3$ and $1 * 3 = 3.$

Then $(2 * 4) * (1 * 3) = 3 * 3 = 4.$

Thus, the correct answer is D .

10.

Esta gráfica de líneas representa el precio de una tarjeta coleccionable durante los primeros $6$ meses de $1993.$ ¿En qué mes ocurrió la mayor caída mensual del precio?

This line graph represents the price of a trading card during the first $6$ months of $1993.$ The greatest monthly drop in price occurred during which month?

enero

January

marzo

March

abril

April

mayo

May

junio

June

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Una caída ocurre donde la línea baja de un mes al siguiente; mide cuánto cae cada vez

A drop happens where the line goes down from one month to the next; measure how far it falls each time

Pista grande:

Compara solo los segmentos descendentes y encuentra el más pronunciado

Compare only the downward segments and find the steepest one

Solución:

Los cambios de precio de mes a mes son: enero $\$2.50 \to \$2.00$ (caída $\$0.50$ ), febrero $\$2.00 \to \$4.00$ (subida), marzo $\$4.00 \to \$1.50$ (caída $\$2.50$ ), abril $\$1.50 \to \$4.50$ (subida), mayo $\$4.50 \to \$3.00$ (caída $\$1.50$ ), y junio $\$3.00 \to \$1.00$ (caída $\$2.00$ ).

La mayor caída es $\$2.50,$ que ocurrió en marzo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The price changes month to month are: January $\$2.50 \to \$2.00$ (drop $\$0.50$ ), February $\$2.00 \to \$4.00$ (rise), March $\$4.00 \to \$1.50$ (drop $\$2.50$ ), April $\$1.50 \to \$4.50$ (rise), May $\$4.50 \to \$3.00$ (drop $\$1.50$ ), and June $\$3.00 \to \$1.00$ (drop $\$2.00$ ).

The largest drop is $\$2.50,$ which occurred during March.

Thus, the correct answer is B .

11.

Considera este histograma de las calificaciones de $81$ estudiantes que presentan un examen. ¿En qué intervalo etiquetado está la mediana?

Consider this histogram of the scores for $81$ students taking a test. The median is in the interval labeled which value?

$60$

$65$

$70$

$75$

$80$

Conceptos:mediana (datos)interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Con $81$ calificaciones en orden, la mediana es la del medio: la calificación número $41$ , contando desde la más baja

With $81$ scores in order, the median is the middle one: the $41$ st score counting from the lowest

Pista grande:

Suma las alturas de las barras de izquierda a derecha hasta que el total acumulado alcance por primera vez $41$

Add the bar heights from left to right until the running total first reaches $41$

Solución:

Como $81$ estudiantes presentaron el examen, la mediana es la calificación número $41$ , contando desde la más baja.

Sumando las alturas de las barras desde la izquierda se obtienen los totales acumulados $1,$ $3,$ $7,$ $12,$ $18,$ $28,$ $42,$ $\ldots$ El total supera por primera vez $41$ en el intervalo etiquetado $70,$ que contiene desde la calificación $29$ hasta la $42$ . Así que la calificación número $41$ está en el intervalo etiquetado $70.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $81$ students took the test, the median is the $41$ st score counting up from the lowest.

Adding the bar heights from the left gives running totals $1,$ $3,$ $7,$ $12,$ $18,$ $28,$ $42,$ $\ldots$ The total first passes $41$ at the interval labeled $70,$ which contains the $29$ th through $42$ nd scores. So the $41$ st score lies in the interval labeled $70.$

Thus, the correct answer is C .

12.

Si cada uno de los tres signos de operación, $+,$ $-,$ $\times,$ se usa exactamente una vez en uno de los espacios en la expresión

$5 \, \underline{\phantom{x}} \, 4 \, \underline{\phantom{x}} \, 6 \, \underline{\phantom{x}} \, 3$

entonces el valor del resultado podría ser igual a

If each of the three operation signs, $+,$ $-,$ $\times,$ is used exactly once in one of the blanks in the expression

$5 \, \underline{\phantom{x}} \, 4 \, \underline{\phantom{x}} \, 6 \, \underline{\phantom{x}} \, 3$

then the value of the result could equal

$9$

$10$

$15$

$16$

$19$

Conceptos:orden de las operaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

La multiplicación se hace antes que la suma y la resta, así que dónde colocas $\times$ es lo más importante

Multiplication happens before addition and subtraction, so where you place $\times$ matters most

Pista grande:

Analiza cada forma de asignar $+,$ $-,$ $\times$ a los tres espacios y calcula el resultado

Work through each way of assigning $+,$ $-,$ $\times$ to the three blanks and compute the result

Solución:

Las seis disposiciones dan $5 \times 4 + 6 - 3 = 23,$ $5 \times 4 - 6 + 3 = 17,$ $5 + 4 \times 6 - 3 = 26,$ $5 - 4 \times 6 + 3 = -16,$ $5 + 4 - 6 \times 3 = -9,$ y $5 - 4 + 6 \times 3 = 19.$

El único valor entre las opciones es $19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The six arrangements give $5 \times 4 + 6 - 3 = 23,$ $5 \times 4 - 6 + 3 = 17,$ $5 + 4 \times 6 - 3 = 26,$ $5 - 4 \times 6 + 3 = -16,$ $5 + 4 - 6 \times 3 = -9,$ and $5 - 4 + 6 \times 3 = 19.$

The only value among the choices is $19.$

Thus, the correct answer is E .

13.

La palabra «HELP» en letras de bloque está pintada como una región sombreada con trazos de $1$ unidad de ancho en un letrero rectangular de $5$ por $15$ . Cada letra tiene $3$ unidades de ancho con un espacio de $1$ unidad entre letras, como se muestra. El área de la parte sin sombrear del letrero, en unidades cuadradas, es

The word “HELP” in block letters is painted as a shaded region with strokes $1$ unit wide on a $5$ by $15$ rectangular sign. Each letter is $3$ units wide with a $1$ -unit gap between letters, as shown. The area of the unshaded portion of the sign, in square units, is

$30$

$32$

$34$

$36$

$38$

Conceptos:descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El letrero completo mide $5 \times 15 = 75$ unidades cuadradas

The whole sign is $5 \times 15 = 75$ square units

Pista grande:

Cuenta los cuadrados unitarios sombreados que forman cada letra, luego resta el total de $75$

Count the shaded unit squares making up each letter, then subtract the total from $75$

Solución:

El letrero completo tiene un área de $5 \times 15 = 75$ unidades cuadradas. Contando los cuadrados unitarios sombreados de cada letra se obtiene $H = 11,$ $E = 11,$ $L = 7,$ y $P = 10,$ para un total sombreado de $11 + 11 + 7 + 10 = 39.$

El área sin sombrear es $75 - 39 = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The full sign has area $5 \times 15 = 75$ square units. Counting the shaded unit squares in each letter gives $H = 11,$ $E = 11,$ $L = 7,$ and $P = 10,$ for a shaded total of $11 + 11 + 7 + 10 = 39.$

The unshaded area is $75 - 39 = 36.$

Thus, the correct answer is D .

14.

Los nueve cuadrados de la tabla mostrada deben llenarse de modo que cada fila y cada columna contenga cada uno de los números $1,$ $2,$ $3.$ Entonces $A + B =$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & \phantom{X} & \phantom{X} \\ \hline \phantom{X} & 2 & A \\ \hline \phantom{X} & \phantom{X} & B \\ \hline \end{array}$

The nine squares in the table shown are to be filled so that every row and every column contains each of the numbers $1,$ $2,$ $3.$ Then $A + B =$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & \phantom{X} & \phantom{X} \\ \hline \phantom{X} & 2 & A \\ \hline \phantom{X} & \phantom{X} & B \\ \hline \end{array}$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Cada fila y cada columna debe contener $1,$ $2,$ $3$ exactamente una vez

Each row and each column must contain $1,$ $2,$ $3$ exactly once

Pista grande:

Una vez que se conocen dos entradas de una fila o columna, la tercera queda forzada; complétala paso a paso

Once two entries of a row or column are known, the third is forced; fill in step by step

Solución:

Llenando la cuadrícula para que cada fila y columna tenga $1,$ $2,$ $3,$ la fila superior queda $1,$ $3,$ $2,$ la fila del medio $3,$ $2,$ $A,$ y la fila inferior $2,$ $1,$ $B.$ La fila del medio fuerza $A = 1,$ y la última columna $2,$ $1,$ $B$ fuerza $B = 3.$

Así que $A + B = 1 + 3 = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Filling the grid so each row and column has $1,$ $2,$ $3,$ the top row becomes $1,$ $3,$ $2,$ the middle row $3,$ $2,$ $A,$ and the bottom row $2,$ $1,$ $B.$ The middle row forces $A = 1,$ and the last column $2,$ $1,$ $B$ forces $B = 3.$

So $A + B = 1 + 3 = 4.$

Thus, the correct answer is C .

15.

La media aritmética (promedio) de cuatro números es $85.$ Si el mayor de estos números es $97,$ entonces la media de los tres números restantes es

The arithmetic mean (average) of four numbers is $85.$ If the largest of these numbers is $97,$ then the mean of the remaining three numbers is

$81.0$

$82.7$

$83.0$

$84.0$

$84.3$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Los cuatro números suman $4 \times 85$

The four numbers sum to $4 \times 85$

Pista grande:

Resta el número mayor, luego divide la suma restante entre $3$

Subtract the largest number, then divide the remaining sum by $3$

Solución:

Los cuatro números suman $4 \times 85 = 340,$ así que los tres restantes suman $340 - 97 = 243.$

Su media es $243 \div 3 = 81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The four numbers sum to $4 \times 85 = 340,$ so the remaining three sum to $340 - 97 = 243.$

Their mean is $243 \div 3 = 81.$

Thus, the correct answer is A .

16.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}}$

What is the value of the following expression?

$\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}}$

$\dfrac16$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{7}{10}$

$\dfrac56$

$\dfrac{10}{3}$

Conceptos:fracción continua fracción

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Trabaja de abajo hacia arriba: primero simplifica $2 + \dfrac13$

Work from the bottom up: first simplify $2 + \dfrac13$

Pista grande:

Luego $1 + \dfrac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \dfrac37,$ y toma el recíproco

Then $1 + \dfrac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \dfrac37,$ and take the reciprocal

Solución:

Empezando por dentro, $2 + \dfrac13 = \dfrac73,$ así que $\dfrac{1}{\frac{7}{3}} = \dfrac37.$

Luego $1 + \dfrac37 = \dfrac{10}{7},$ y la expresión completa es $\dfrac{1}{\frac{10}{7}} = \dfrac{7}{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Starting inside, $2 + \dfrac13 = \dfrac73,$ so $\dfrac{1}{\frac{7}{3}} = \dfrac37.$

Then $1 + \dfrac37 = \dfrac{10}{7},$ and the whole expression is $\dfrac{1}{\frac{10}{7}} = \dfrac{7}{10}.$

Thus, the correct answer is C .

17.

Se quitan esquinas cuadradas, de $5$ unidades por lado, de una lámina rectangular de cartón de $20$ unidades por $30$ unidades. Luego se doblan los lados para formar una caja abierta. El área de la superficie, en unidades cuadradas, del interior de la caja es

Square corners, $5$ units on a side, are removed from a $20$ unit by $30$ unit rectangular sheet of cardboard. The sides are then folded to form an open box. The surface area, in square units, of the interior of the box is

$300$

$500$

$550$

$600$

$1000$

Conceptos:área de superficie desarrollo plano (geometría 3D)

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Doblar no cambia el área; la superficie interior es igual a la lámina menos los cuatro cuadrados de las esquinas

Folding does not change area; the interior surface equals the sheet minus the four corner squares

Pista grande:

La lámina es $20 \times 30;$ resta cuatro cuadrados de esquina de $5 \times 5$

The sheet is $20 \times 30;$ subtract four $5 \times 5$ corner squares

Solución:

La superficie interior es exactamente una cara del cartón después de quitar las esquinas. La lámina tiene un área de $20 \times 30 = 600,$ y cada esquina quitada tiene un área de $5 \times 5 = 25.$

Así que el área de la superficie interior es $600 - 4 \times 25 = 500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The interior surface is exactly one face of the cardboard after the corners are removed. The sheet has area $20 \times 30 = 600,$ and each removed corner has area $5 \times 5 = 25.$

So the interior surface area is $600 - 4 \times 25 = 500.$

Thus, the correct answer is B .

18.

El rectángulo mostrado tiene longitud $AC = 32,$ ancho $AE = 20,$ y $B$ y $F$ son los puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{AE},$ respectivamente. El área del cuadrilátero $ABDF$ es

The rectangle shown has length $AC = 32,$ width $AE = 20,$ and $B$ and $F$ are midpoints of $\overline{AC}$ and $\overline{AE},$ respectively. The area of the quadrilateral $ABDF$ is

$320$

$325$

$330$

$335$

$340$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

El rectángulo $ACDE$ tiene un área de $32 \times 20;$ quita las partes fuera de $ABDF$

The rectangle $ACDE$ has area $32 \times 20;$ remove the parts outside $ABDF$

Pista grande:

Resta el triángulo $BCD$ y el triángulo $DEF$ del rectángulo completo

Subtract triangle $BCD$ and triangle $DEF$ from the full rectangle

Solución:

El rectángulo $ACDE$ tiene un área de $32 \times 20 = 640.$ El triángulo $BCD$ tiene un área de $\dfrac{16 \times 20}{2} = 160,$ y el triángulo $DEF$ tiene un área de $\dfrac{10 \times 32}{2} = 160.$

La región restante $ABDF$ tiene un área de $640 - (160 + 160) = 320.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rectangle $ACDE$ has area $32 \times 20 = 640.$ Triangle $BCD$ has area $\dfrac{16 \times 20}{2} = 160,$ and triangle $DEF$ has area $\dfrac{10 \times 32}{2} = 160.$

The remaining region $ABDF$ has area $640 - (160 + 160) = 320.$

Thus, the correct answer is A .

19.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\begin{gathered} \small (1901 + 1902 + 1903 + \cdots + 1993) \\ \small {}- (101 + 102 + 103 + \cdots + 193) \end{gathered}$

What is the value of the following expression?

$\begin{gathered} \small (1901 + 1902 + 1903 + \cdots + 1993) \\ \small {}- (101 + 102 + 103 + \cdots + 193) \end{gathered}$

$167{,}400$

$172{,}050$

$181{,}071$

$199{,}300$

$362{,}142$

Conceptos:emparejamiento y agrupación sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Empareja cada término con el que está debajo: $1901 - 101,$ $1902 - 102,$ $\ldots$

Pair each term with the one below it: $1901 - 101,$ $1902 - 102,$ $\ldots$

Pista grande:

Cada uno de los $93$ pares tiene diferencia $1800$

Each of the $93$ pairs has difference $1800$

Solución:

Cada número de la primera suma es exactamente $1800$ más que el número correspondiente de la segunda suma, y hay $93$ pares de este tipo.

Así que la diferencia es $93 \times 1800 = 167{,}400.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each number in the first sum is exactly $1800$ more than the matching number in the second sum, and there are $93$ such pairs.

So the difference is $93 \times 1800 = 167{,}400.$

Thus, the correct answer is A .

20.

Cuando $10^{93} - 93$ se expresa como un solo número entero, la suma de los dígitos es

When $10^{93} - 93$ is expressed as a single whole number, the sum of the digits is

$10$

$93$

$819$

$826$

$833$

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

$10^{93}$ es un $1$ seguido de $93$ ceros; restar $93$ cambia solo el extremo derecho

$10^{93}$ is a $1$ followed by $93$ zeros; subtracting $93$ changes only the right end

Pista grande:

El resultado es un bloque de nueves que termina en $07;$ determina cuántos nueves hay

The result is a block of nines ending in $07;$ determine how many nines there are

Solución:

Restar $93$ de $10^{93}$ (un $1$ seguido de $93$ ceros) da un número que es $91$ nueves seguidos de $07.$

La suma de los dígitos es $91 \times 9 + 0 + 7 = 819 + 7 = 826.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Subtracting $93$ from $10^{93}$ (a $1$ followed by $93$ zeros) gives a number that is $91$ nines followed by $07.$

The digit sum is $91 \times 9 + 0 + 7 = 819 + 7 = 826.$

Thus, the correct answer is D .

21.

Si la longitud de un rectángulo se aumenta en $20\%$ y su ancho se aumenta en $50\%,$ entonces el área se aumenta en

If the length of a rectangle is increased by $20\%$ and its width is increased by $50\%,$ then the area is increased by

$10\%$

$30\%$

$70\%$

$80\%$

$100\%$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Nueva área $=$ (nueva longitud) $\times$ (nuevo ancho) $= 1.2 \times 1.5$ veces el área anterior

New area $=$ (new length) $\times$ (new width) $= 1.2 \times 1.5$ times the old area

Pista grande:

Multiplica los dos factores de crecimiento $1.2$ y $1.5$ para obtener el factor por el cual crece el área

Multiply the two growth factors $1.2$ and $1.5$ to get the factor by which the area grows

Solución:

La nueva longitud es $1.2$ veces la anterior y el nuevo ancho es $1.5$ veces el anterior, así que la nueva área es $1.2 \times 1.5 = 1.8$ veces el área anterior.

Eso es un aumento del $80\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The new length is $1.2$ times the old and the new width is $1.5$ times the old, so the new area is $1.2 \times 1.5 = 1.8$ times the old area.

That is an increase of $80\%.$

Thus, the correct answer is D .

22.

Pat Peano tiene muchos $0$ , $1$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ y $9$ , pero solo tiene veintidós $2$ . ¿Hasta qué número puede numerar las páginas de su álbum de recortes con estos dígitos?

Pat Peano has plenty of $0$ ’s, $1$ ’s, $3$ ’s, $4$ ’s, $5$ ’s, $6$ ’s, $7$ ’s, $8$ ’s and $9$ ’s, but he has only twenty-two $2$ ’s. How far can he number the pages of his scrapbook with these digits?

$22$

$99$

$112$

$119$

$199$

Conceptos:dígitos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Cuenta cuántos $2$ aparecen al numerar las páginas $1$ a $99$

Count how many $2$ ’s appear when numbering pages $1$ through $99$

Pista grande:

Diez $2$ aparecen en la posición de las unidades y diez en la posición de las decenas hasta $99;$ luego sigue los doses restantes después de $100$

Ten $2$ ’s appear in the units place and ten in the tens place through $99;$ then track the remaining twos past $100$

Solución:

Numerar $1$ a $99$ usa diez $2$ en la posición de las unidades y diez en la posición de las decenas, un total de veinte $2$ . Las páginas $100$ y $101$ no usan ninguno.

Los dos $2$ restantes se usan en las páginas $102$ y $112.$ Después de eso, las páginas $113$ a $119$ no necesitan ningún $2,$ pero $120$ requeriría otro $2,$ así que puede numerar hasta $119.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Numbering $1$ through $99$ uses ten $2$ ’s in the units place and ten in the tens place, a total of twenty $2$ ’s. Pages $100$ and $101$ use none.

The remaining two $2$ ’s are used on pages $102$ and $112.$ After that, pages $113$ through $119$ need no $2,$ but $120$ would require another $2,$ so he can number up to $119.$

Thus, the correct answer is D .

23.

Cinco corredores, $P,$ $Q,$ $R,$ $S,$ $T,$ participan en una carrera: $P$ vence a $Q,$ $P$ vence a $R,$ $Q$ vence a $S,$ y $T$ termina después de $P$ y antes de $Q.$ ¿Quién no pudo haber terminado tercero en la carrera?

Five runners, $P,$ $Q,$ $R,$ $S,$ $T,$ have a race, and $P$ beats $Q,$ $P$ beats $R,$ $Q$ beats $S,$ and $T$ finishes after $P$ and before $Q.$ Who could not have finished third in the race?

$P$ y $Q$

$P$ and $Q$

$P$ y $R$

$P$ and $R$

$P$ y $S$

$P$ and $S$

$P$ y $T$

$P$ and $T$

$P,$ $S$ y $T$

$P,$ $S$ and $T$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

$P$ termina delante de $Q,$ $R,$ y $T,$ mientras que $Q$ termina delante de $S;$ determina el puesto de $P$

$P$ finishes ahead of $Q,$ $R,$ and $T,$ while $Q$ finishes ahead of $S;$ determine $P$ ’s place

Pista grande:

Si varios corredores deben terminar todos por delante de un corredor dado, ese corredor no puede estar tan arriba como tercero

If several runners must all finish ahead of a given runner, that runner cannot be as high as third

Solución:

Como $P$ vence a $Q$ y $R,$ termina delante de $T,$ y $Q$ vence a $S,$ el corredor $P$ termina primero y por lo tanto no puede ser tercero.

Las pistas dan la cadena $P$ antes de $T$ antes de $Q$ antes de $S.$ Así que $P,$ $T,$ y $Q$ terminan todos por delante de $S,$ lo que significa que $S$ no puede quedar mejor que en cuarto lugar y tampoco puede ser tercero.

Cada uno de $Q,$ $R,$ $T$ puede terminar tercero: por ejemplo, $P,$ $T,$ $Q,$ $R,$ $S$ pone a $Q$ tercero; $P,$ $R,$ $T,$ $Q,$ $S$ pone a $T$ tercero; y $P,$ $T,$ $R,$ $Q,$ $S$ pone a $R$ tercero. Así que solo $P$ y $S$ no pueden ser terceros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $P$ beats $Q$ and $R,$ finishes ahead of $T,$ and $Q$ beats $S,$ runner $P$ finishes first and so cannot be third.

The clues give the chain $P$ before $T$ before $Q$ before $S.$ So $P,$ $T,$ and $Q$ all finish ahead of $S,$ meaning $S$ is no better than fourth and cannot be third either.

Each of $Q,$ $R,$ $T$ can finish third: for example $P,$ $T,$ $Q,$ $R,$ $S$ puts $Q$ third; $P,$ $R,$ $T,$ $Q,$ $S$ puts $T$ third; and $P,$ $T,$ $R,$ $Q,$ $S$ puts $R$ third. So only $P$ and $S$ cannot be third.

Thus, the correct answer is C .

24.

¿Qué número está directamente encima de $142$ en este arreglo de números?

$\begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 2 & 3 & 4 & & & \\ & & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & & \\ & 10 & 11 & 12 & \cdots & & & & \end{array}$

What number is directly above $142$ in this array of numbers?

$\begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 2 & 3 & 4 & & & \\ & & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & & \\ & 10 & 11 & 12 & \cdots & & & & \end{array}$

$99$

$119$

$120$

$121$

$122$

Conceptos:cuadrado perfecto reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Cada fila termina en un cuadrado perfecto: la fila $n$ termina en $n^2$

Each row ends at a perfect square: row $n$ ends at $n^2$

Pista grande:

$142$ está en la fila que termina en $144 = 12^2;$ la fila de arriba termina en $121 = 11^2,$ y las filas se alinean en sus bordes derechos

$142$ is in the row ending at $144 = 12^2;$ the row above ends at $121 = 11^2,$ and the rows line up at their right edges

Solución:

Cada fila termina en un cuadrado perfecto, así que la fila que contiene $142$ termina en $144 = 12^2,$ y la fila de arriba termina en $121 = 11^2.$

Como las filas están alineadas en sus bordes derechos, $121$ está directamente encima de $143,$ y por lo tanto $120$ está directamente encima de $142.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each row ends at a perfect square, so the row containing $142$ ends at $144 = 12^2,$ and the row above it ends at $121 = 11^2.$

Since the rows are aligned at their right edges, $121$ sits directly above $143,$ and therefore $120$ sits directly above $142.$

Thus, the correct answer is C .

25.

Un tablero de ajedrez consiste en cuadrados de una pulgada. Una tarjeta cuadrada, de $1.5$ pulgadas por lado, se coloca sobre el tablero de modo que cubre parte o toda el área de cada uno de $n$ cuadrados. El máximo valor posible de $n$ es

A checkerboard consists of one-inch squares. A square card, $1.5$ inches on a side, is placed on the board so that it covers part or all of the area of each of $n$ squares. The maximum possible value of $n$ is

$4$ o $5$

$4$ or $5$

$6$ o $7$

$6$ or $7$

$8$ o $9$

$8$ or $9$

$10$ o $11$

$10$ or $11$

$12$ o más

$12$ or more

Conceptos:optimización Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Una tarjeta inclinada puede cruzar más líneas de la cuadrícula que una tarjeta alineada con los cuadrados; la diagonal de la tarjeta tiene longitud $\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1$

A tilted card can cross more grid lines than a card lined up with the squares; the card’s diagonal has length $\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1$

Pista grande:

Intenta inclinar la tarjeta $45^\circ$ con su centro en una esquina de la cuadrícula y cuenta en cuántos cuadrados entra cada esquina de la tarjeta

Try tilting the card $45^\circ$ with its center on a grid corner, and count how many squares each corner of the card pokes into

Solución:

Inclina la tarjeta $45^\circ$ y céntrala en una esquina donde se encuentran cuatro cuadrados de la cuadrícula, como se muestra. Como la diagonal de la tarjeta, $\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1,$ es más larga que $2,$ cada una de las cuatro esquinas de la tarjeta pasa una línea de la cuadrícula hacia el siguiente cuadrado.

La tarjeta cubre el bloque central de $2 \times 2$ de $4$ cuadrados y se extiende a $2$ cuadrados más en cada uno de sus cuatro lados, dando $4 + 4 \times 2 = 12$ cuadrados.

Este es también el máximo posible. La tarjeta mide solo $1.5$ pulgadas de ancho, así que su ancho y alto totales son cada uno a lo sumo $2.1$ pulgadas; por lo tanto se encuentra dentro de un bloque de $4 \times 4$ de $16$ cuadrados. Sus cuatro esquinas puntiagudas son las únicas partes que alcanzan el borde de ese bloque, así que nunca puede alcanzar los cuatro cuadrados de las esquinas del bloque, dejando a lo sumo $12.$ Como $12$ es alcanzable, el máximo es $12,$ que cae en el rango “ $12$ o más”.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Tilt the card $45^\circ$ and center it on a corner where four grid squares meet, as shown. Because the card’s diagonal, $\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1,$ is longer than $2,$ each of the four corners of the card reaches past a grid line into the next square.

The card covers the central $2 \times 2$ block of $4$ squares and pokes into $2$ more squares on each of its four sides, giving $4 + 4 \times 2 = 12$ squares.

This is also the most possible. The card is only $1.5$ inches wide, so its overall width and height are each at most $2.1$ inches; it therefore lies within a $4 \times 4$ block of $16$ squares. Its four pointed corners are the only parts that reach the edge of that block, so it can never reach the four corner squares of the block, leaving at most $12.$ Since $12$ is achievable, the maximum is $12,$ which falls in the range “ $12$ or more.”

Thus, the correct answer is E .