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Soluciones del 1993 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Qué par de números no tiene un producto igual a 3636?
Which pair of numbers does not have a product equal to 36?36?
{−4,−9}\{-4, -9\}
{−3,−12}\{-3, -12\}
{12,−72}\left\{\dfrac12, -72\right\}
{1,36}\{1, 36\}
{32,24}\left\{\dfrac32, 24\right\}
Conceptos:fracción
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
Multiplica los dos números de cada par y verifica cuál producto no es 3636
Multiply the two numbers in each pair and check which product is not 3636
Pista grande:
Un número negativo por un número negativo es positivo, así que ten cuidado con los signos de 12×(−72)\dfrac12 \times (-72)
A negative times a negative is positive, so watch the signs of 12×(−72)\dfrac12 \times (-72)
Solución:
Revisando cada par: (−4)(−9)=36,(-4)(-9) = 36, (−3)(−12)=36,(-3)(-12) = 36, 12×(−72)=−36,\dfrac12 \times (-72) = -36, (1)(36)=36,(1)(36) = 36, y 32×24=36.\dfrac32 \times 24 = 36.
Solo 12×(−72)=−36\dfrac12 \times (-72) = -36 no es igual a 36.36.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Checking each pair: (−4)(−9)=36,(-4)(-9) = 36, (−3)(−12)=36,(-3)(-12) = 36, 12×(−72)=−36,\dfrac12 \times (-72) = -36, (1)(36)=36,(1)(36) = 36, and 32×24=36.\dfrac32 \times 24 = 36.
Only 12×(−72)=−36\dfrac12 \times (-72) = -36 fails to equal 36.36.
Thus, the correct answer is C .

2.

Cuando la fracción 4984\dfrac{49}{84} se expresa en su forma más simple, la suma del numerador y el denominador será
When the fraction 4984\dfrac{49}{84} is expressed in simplest form, then the sum of the numerator and the denominator will be
1111
1717
1919
3333
133133
Conceptos:fracciónmáximo común divisor
Nivel de dificultad: 450
Pista pequeña:
Encuentra el máximo común divisor de 4949 y 8484
Find the greatest common factor of 4949 and 8484
Pista grande:
49=7249 = 7^2 y 84=7×12,84 = 7 \times 12, así que divide ambos entre 77
49=7249 = 7^2 and 84=7×12,84 = 7 \times 12, so divide both by 77
Solución:
Como 49=7×749 = 7 \times 7 y 84=7×12,84 = 7 \times 12, la fracción se reduce a 712.\dfrac{7}{12}.
La suma del numerador y el denominador es 7+12=19.7 + 12 = 19.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since 49=7×749 = 7 \times 7 and 84=7×12,84 = 7 \times 12, the fraction reduces to 712.\dfrac{7}{12}.
The sum of numerator and denominator is 7+12=19.7 + 12 = 19.
Thus, the correct answer is C .

3.

¿Cuál de los siguientes números tiene el mayor factor primo?
Which of the following numbers has the largest prime factor?
3939
5151
7777
9191
121121
Conceptos:factorización en primosprimo
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Factoriza cada número completamente en primos
Factor each number completely into primes
Pista grande:
Compara el mayor primo de cada factorización; observa que 51=3×1751 = 3 \times 17
Compare the largest prime in each factorization; note 51=3×1751 = 3 \times 17
Solución:
Factorizando: 39=3×13,39 = 3 \times 13, 51=3×17,51 = 3 \times 17, 77=7×11,77 = 7 \times 11, 91=7×13,91 = 7 \times 13, y 121=11×11.121 = 11 \times 11.
El mayor factor primo entre estos es 17,17, que es un factor de 51.51.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Factoring: 39=3×13,39 = 3 \times 13, 51=3×17,51 = 3 \times 17, 77=7×11,77 = 7 \times 11, 91=7×13,91 = 7 \times 13, and 121=11×11.121 = 11 \times 11.
The largest prime factor among these is 17,17, which is a factor of 51.51.
Thus, the correct answer is B .

4.

1000×1993×0.1993×10=1000 \times 1993 \times 0.1993 \times 10 =
1.993×1031.993 \times 10^3
1993.19931993.1993
(199.3)2(199.3)^2
1,993,001.9931{,}993{,}001.993
(1993)2(1993)^2
Conceptos:valor posicionalexponente
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
Agrupa las potencias de diez: 1000×10=100001000 \times 10 = 10000
Group the powers of ten: 1000×10=100001000 \times 10 = 10000
Pista grande:
10000×0.1993=1993,10000 \times 0.1993 = 1993, así que el producto es 1993×19931993 \times 1993
10000×0.1993=1993,10000 \times 0.1993 = 1993, so the product is 1993×19931993 \times 1993
Solución:
Reagrupa como (1000×10)(1000 \times 10) ×0.1993\times 0.1993 ×1993\times 1993 =10000= 10000 ×0.1993\times 0.1993 ×1993.\times 1993.
Como 10000×0.1993=1993,10000 \times 0.1993 = 1993, el producto es 1993×1993=(1993)2.1993 \times 1993 = (1993)^2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Regroup as (1000×10)(1000 \times 10) ×0.1993\times 0.1993 ×1993\times 1993 =10000= 10000 ×0.1993\times 0.1993 ×1993.\times 1993.
Since 10000×0.1993=1993,10000 \times 0.1993 = 1993, the product is 1993×1993=(1993)2.1993 \times 1993 = (1993)^2.
Thus, the correct answer is E .

5.

¿Cuál de las siguientes gráficas de barras podría representar los datos de la gráfica circular mostrada?
Which one of the following bar graphs could represent the data from the circle graph shown?
Conceptos:interpretación de datos y gráficasrazón y proporción
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Decide qué fracción del círculo completo ocupa cada una de las tres regiones
Decide what fraction of the whole circle each of the three regions takes up
Pista grande:
Cada región sombreada es un cuarto y la región sin sombrear es la mitad, así que las tres barras deben tener alturas en la proporción 1:1:21 : 1 : 2
Each shaded region is a quarter and the unshaded region is a half, so the three bars should have heights in the ratio 1:1:21 : 1 : 2
Solución:
Las dos regiones sombreadas son cada una un cuarto del círculo, y la región sin sombrear es la mitad. Así que las tres cantidades están en la proporción 14:14:12,\tfrac14 : \tfrac14 : \tfrac12, o 1:1:2.1 : 1 : 2.
Una gráfica de barras que coincida debe tener las dos barras sombreadas iguales en altura y la barra sin sombrear exactamente el doble de alta. Solo una gráfica de barras tiene dos barras sombreadas iguales con la barra blanca del doble de su altura.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The two shaded regions are each one quarter of the circle, and the unshaded region is one half. So the three quantities are in the ratio 14:14:12,\tfrac14 : \tfrac14 : \tfrac12, or 1:1:2.1 : 1 : 2.
A matching bar graph must have the two shaded bars equal in height and the unshaded bar exactly twice as tall. Only one bar graph has two equal shaded bars with the white bar double their height.
Thus, the correct answer is C .

6.

Una lata de sopa puede alimentar a 33 adultos o 55 niños. Si hay 55 latas de sopa y se alimenta a 1515 niños, ¿a cuántos adultos alimentaría la sopa restante?
A can of soup can feed 33 adults or 55 children. If there are 55 cans of soup and 1515 children are fed, then how many adults would the remaining soup feed?
55
66
77
88
1010
Conceptos:tasa
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
1515 niños necesitan 15÷5=315 \div 5 = 3 latas, así que encuentra cuántas latas quedan
1515 children need 15÷5=315 \div 5 = 3 cans, so find how many cans remain
Pista grande:
Cada lata restante alimenta a 33 adultos
Each remaining can feeds 33 adults
Solución:
Alimentar a 1515 niños usa 15÷5=315 \div 5 = 3 latas, dejando 5−3=25 - 3 = 2 latas.
Esas 22 latas alimentan a 2×3=62 \times 3 = 6 adultos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Feeding 1515 children uses 15÷5=315 \div 5 = 3 cans, leaving 5−3=25 - 3 = 2 cans.
Those 22 cans feed 2×3=62 \times 3 = 6 adults.
Thus, the correct answer is B .

7.

33+33+33=3^3 + 3^3 + 3^3 =
343^4
939^3
393^9
27327^3
3273^{27}
Conceptos:exponente
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Sumar tres copias de 333^3 es lo mismo que 3×333 \times 3^3
Adding three copies of 333^3 is the same as 3×333 \times 3^3
Pista grande:
3×33=31+33 \times 3^3 = 3^{1+3}
Solución:
Sumando tres términos iguales, 33+33+33=3×33=34=81.3^3 + 3^3 + 3^3 = 3 \times 3^3 = 3^4 = 81.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Adding three equal terms, 33+33+33=3×33=34=81.3^3 + 3^3 + 3^3 = 3 \times 3^3 = 3^4 = 81.
Thus, the correct answer is A .

8.

Para controlar su presión arterial, la abuela de Jill toma media pastilla cada dos días. Si un suministro de medicina contiene 6060 pastillas, entonces el suministro de medicina durará aproximadamente
To control her blood pressure, Jill’s grandmother takes one half of a pill every other day. If one supply of medicine contains 6060 pills, then the supply of medicine will last approximately
11 mes
11 month
44 meses
44 months
66 meses
66 months
88 meses
88 months
11 año
11 year
Conceptos:tasaconversión de unidades
Nivel de dificultad: 860
Pista pequeña:
Media pastilla cada dos días significa que una pastilla entera cubre 44 días
Half a pill every other day means one whole pill covers 44 days
Pista grande:
Encuentra el número total de días, luego conviértelo a meses usando unos 3030 días por mes
Find the total number of days, then convert to months using about 3030 days per month
Solución:
Toma media pastilla cada dos días, así que una pastilla dura 44 días. Entonces 6060 pastillas duran 60×4=24060 \times 4 = 240 días.
A unos 3030 días por mes, eso es aproximadamente 240÷30=8240 \div 30 = 8 meses.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
She takes half a pill every two days, so one pill lasts 44 days. Then 6060 pills last 60×4=24060 \times 4 = 240 days.
At about 3030 days per month, that is roughly 240÷30=8240 \div 30 = 8 months.
Thus, the correct answer is D .

9.

Considera la operación ∗* definida por la siguiente tabla:
∗123411234224133314244321\begin{array}{c|cccc} * & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}
Por ejemplo, 3∗2=1.3 * 2 = 1. Entonces (2∗4)∗(1∗3)=(2 * 4) * (1 * 3) =
Consider the operation ∗* defined by the following table:
∗123411234224133314244321\begin{array}{c|cccc} * & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}
For example, 3∗2=1.3 * 2 = 1. Then (2∗4)∗(1∗3)=(2 * 4) * (1 * 3) =
11
22
33
44
55
Conceptos:operación personalizada
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
Lee 2∗42 * 4 de la fila 2,2, columna 4,4, y 1∗31 * 3 de la fila 1,1, columna 33
Read 2∗42 * 4 from row 2,2, column 4,4, and 1∗31 * 3 from row 1,1, column 33
Pista grande:
Ambos valores internos son iguales a 3,3, así que calcula 3∗33 * 3 de la tabla
Both inner values equal 3,3, so compute 3∗33 * 3 from the table
Solución:
De la tabla, 2∗4=32 * 4 = 3 y 1∗3=3.1 * 3 = 3.
Entonces (2∗4)∗(1∗3)=3∗3=4.(2 * 4) * (1 * 3) = 3 * 3 = 4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
From the table, 2∗4=32 * 4 = 3 and 1∗3=3.1 * 3 = 3.
Then (2∗4)∗(1∗3)=3∗3=4.(2 * 4) * (1 * 3) = 3 * 3 = 4.
Thus, the correct answer is D .

10.

Esta gráfica de líneas representa el precio de una tarjeta coleccionable durante los primeros 66 meses de 1993.1993. ¿En qué mes ocurrió la mayor caída mensual del precio?
This line graph represents the price of a trading card during the first 66 months of 1993.1993. The greatest monthly drop in price occurred during which month?
enero
January
marzo
March
abril
April
mayo
May
junio
June
Conceptos:interpretación de datos y gráficas
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Una caída ocurre donde la línea baja de un mes al siguiente; mide cuánto cae cada vez
A drop happens where the line goes down from one month to the next; measure how far it falls each time
Pista grande:
Compara solo los segmentos descendentes y encuentra el más pronunciado
Compare only the downward segments and find the steepest one
Solución:
Los cambios de precio de mes a mes son: enero $2.50→$2.00\$2.50 \to \$2.00 (caída $0.50\$0.50), febrero $2.00→$4.00\$2.00 \to \$4.00 (subida), marzo $4.00→$1.50\$4.00 \to \$1.50 (caída $2.50\$2.50), abril $1.50→$4.50\$1.50 \to \$4.50 (subida), mayo $4.50→$3.00\$4.50 \to \$3.00 (caída $1.50\$1.50), y junio $3.00→$1.00\$3.00 \to \$1.00 (caída $2.00\$2.00).
La mayor caída es $2.50,\$2.50, que ocurrió en marzo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The price changes month to month are: January $2.50→$2.00\$2.50 \to \$2.00 (drop $0.50\$0.50), February $2.00→$4.00\$2.00 \to \$4.00 (rise), March $4.00→$1.50\$4.00 \to \$1.50 (drop $2.50\$2.50), April $1.50→$4.50\$1.50 \to \$4.50 (rise), May $4.50→$3.00\$4.50 \to \$3.00 (drop $1.50\$1.50), and June $3.00→$1.00\$3.00 \to \$1.00 (drop $2.00\$2.00).
The largest drop is $2.50,\$2.50, which occurred during March.
Thus, the correct answer is B .

11.

Considera este histograma de las calificaciones de 8181 estudiantes que presentan un examen. ¿En qué intervalo etiquetado está la mediana?
Consider this histogram of the scores for 8181 students taking a test. The median is in the interval labeled which value?
6060
6565
7070
7575
8080
Conceptos:mediana (datos)interpretación de datos y gráficas
Nivel de dificultad: 800
Pista pequeña:
Con 8181 calificaciones en orden, la mediana es la del medio: la calificación número 4141, contando desde la más baja
With 8181 scores in order, the median is the middle one: the 4141st score counting from the lowest
Pista grande:
Suma las alturas de las barras de izquierda a derecha hasta que el total acumulado alcance por primera vez 4141
Add the bar heights from left to right until the running total first reaches 4141
Solución:
Como 8181 estudiantes presentaron el examen, la mediana es la calificación número 4141, contando desde la más baja.
Sumando las alturas de las barras desde la izquierda se obtienen los totales acumulados 1,1, 3,3, 7,7, 12,12, 18,18, 28,28, 42,42, …\ldots El total supera por primera vez 4141 en el intervalo etiquetado 70,70, que contiene desde la calificación 2929 hasta la 4242. Así que la calificación número 4141 está en el intervalo etiquetado 70.70.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since 8181 students took the test, the median is the 4141st score counting up from the lowest.
Adding the bar heights from the left gives running totals 1,1, 3,3, 7,7, 12,12, 18,18, 28,28, 42,42, …\ldots The total first passes 4141 at the interval labeled 70,70, which contains the 2929th through 4242nd scores. So the 4141st score lies in the interval labeled 70.70.
Thus, the correct answer is C .

12.

Si cada uno de los tres signos de operación, +,+, −,-, ×,\times, se usa exactamente una vez en uno de los espacios en la expresión
5 x‾ 4 x‾ 6 x‾ 35 \, \underline{\phantom{x}} \, 4 \, \underline{\phantom{x}} \, 6 \, \underline{\phantom{x}} \, 3
entonces el valor del resultado podría ser igual a
If each of the three operation signs, +,+, −,-, ×,\times, is used exactly once in one of the blanks in the expression
5 x‾ 4 x‾ 6 x‾ 35 \, \underline{\phantom{x}} \, 4 \, \underline{\phantom{x}} \, 6 \, \underline{\phantom{x}} \, 3
then the value of the result could equal
99
1010
1515
1616
1919
Conceptos:orden de las operacionesanálisis por casos
Nivel de dificultad: 890
Pista pequeña:
La multiplicación se hace antes que la suma y la resta, así que dónde colocas ×\times es lo más importante
Multiplication happens before addition and subtraction, so where you place ×\times matters most
Pista grande:
Analiza cada forma de asignar +,+, −,-, ×\times a los tres espacios y calcula el resultado
Work through each way of assigning +,+, −,-, ×\times to the three blanks and compute the result
Solución:
Las seis disposiciones dan 5×4+6−3=23,5 \times 4 + 6 - 3 = 23, 5×4−6+3=17,5 \times 4 - 6 + 3 = 17, 5+4×6−3=26,5 + 4 \times 6 - 3 = 26, 5−4×6+3=−16,5 - 4 \times 6 + 3 = -16, 5+4−6×3=−9,5 + 4 - 6 \times 3 = -9, y 5−4+6×3=19.5 - 4 + 6 \times 3 = 19.
El único valor entre las opciones es 19.19.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The six arrangements give 5×4+6−3=23,5 \times 4 + 6 - 3 = 23, 5×4−6+3=17,5 \times 4 - 6 + 3 = 17, 5+4×6−3=26,5 + 4 \times 6 - 3 = 26, 5−4×6+3=−16,5 - 4 \times 6 + 3 = -16, 5+4−6×3=−9,5 + 4 - 6 \times 3 = -9, and 5−4+6×3=19.5 - 4 + 6 \times 3 = 19.
The only value among the choices is 19.19.
Thus, the correct answer is E .

13.

La palabra «HELP» en letras de bloque está pintada como una región sombreada con trazos de 11 unidad de ancho en un letrero rectangular de 55 por 1515. Cada letra tiene 33 unidades de ancho con un espacio de 11 unidad entre letras, como se muestra. El área de la parte sin sombrear del letrero, en unidades cuadradas, es
The word “HELP” in block letters is painted as a shaded region with strokes 11 unit wide on a 55 by 1515 rectangular sign. Each letter is 33 units wide with a 11-unit gap between letters, as shown. The area of the unshaded portion of the sign, in square units, is
3030
3232
3434
3636
3838
Conceptos:descomposición de áreas
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
El letrero completo mide 5×15=755 \times 15 = 75 unidades cuadradas
The whole sign is 5×15=755 \times 15 = 75 square units
Pista grande:
Cuenta los cuadrados unitarios sombreados que forman cada letra, luego resta el total de 7575
Count the shaded unit squares making up each letter, then subtract the total from 7575
Solución:
El letrero completo tiene un área de 5×15=755 \times 15 = 75 unidades cuadradas. Contando los cuadrados unitarios sombreados de cada letra se obtiene H=11,H = 11, E=11,E = 11, L=7,L = 7, y P=10,P = 10, para un total sombreado de 11+11+7+10=39.11 + 11 + 7 + 10 = 39.
El área sin sombrear es 75−39=36.75 - 39 = 36.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The full sign has area 5×15=755 \times 15 = 75 square units. Counting the shaded unit squares in each letter gives H=11,H = 11, E=11,E = 11, L=7,L = 7, and P=10,P = 10, for a shaded total of 11+11+7+10=39.11 + 11 + 7 + 10 = 39.
The unshaded area is 75−39=36.75 - 39 = 36.
Thus, the correct answer is D .

14.

Los nueve cuadrados de la tabla mostrada deben llenarse de modo que cada fila y cada columna contenga cada uno de los números 1,1, 2,2, 3.3. Entonces A+B=A + B =
1XXX2AXXB\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & \phantom{X} & \phantom{X} \\ \hline \phantom{X} & 2 & A \\ \hline \phantom{X} & \phantom{X} & B \\ \hline \end{array}
The nine squares in the table shown are to be filled so that every row and every column contains each of the numbers 1,1, 2,2, 3.3. Then A+B=A + B =
1XXX2AXXB\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & \phantom{X} & \phantom{X} \\ \hline \phantom{X} & 2 & A \\ \hline \phantom{X} & \phantom{X} & B \\ \hline \end{array}
22
33
44
55
66
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 930
Pista pequeña:
Cada fila y cada columna debe contener 1,1, 2,2, 33 exactamente una vez
Each row and each column must contain 1,1, 2,2, 33 exactly once
Pista grande:
Una vez que se conocen dos entradas de una fila o columna, la tercera queda forzada; complétala paso a paso
Once two entries of a row or column are known, the third is forced; fill in step by step
Solución:
Llenando la cuadrícula para que cada fila y columna tenga 1,1, 2,2, 3,3, la fila superior queda 1,1, 3,3, 2,2, la fila del medio 3,3, 2,2, A,A, y la fila inferior 2,2, 1,1, B.B. La fila del medio fuerza A=1,A = 1, y la última columna 2,2, 1,1, BB fuerza B=3.B = 3.
Así que A+B=1+3=4.A + B = 1 + 3 = 4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Filling the grid so each row and column has 1,1, 2,2, 3,3, the top row becomes 1,1, 3,3, 2,2, the middle row 3,3, 2,2, A,A, and the bottom row 2,2, 1,1, B.B. The middle row forces A=1,A = 1, and the last column 2,2, 1,1, BB forces B=3.B = 3.
So A+B=1+3=4.A + B = 1 + 3 = 4.
Thus, the correct answer is C .

15.

La media aritmética (promedio) de cuatro números es 85.85. Si el mayor de estos números es 97,97, entonces la media de los tres números restantes es
The arithmetic mean (average) of four numbers is 85.85. If the largest of these numbers is 97,97, then the mean of the remaining three numbers is
81.081.0
82.782.7
83.083.0
84.084.0
84.384.3
Conceptos:media
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Los cuatro números suman 4×854 \times 85
The four numbers sum to 4×854 \times 85
Pista grande:
Resta el número mayor, luego divide la suma restante entre 33
Subtract the largest number, then divide the remaining sum by 33
Solución:
Los cuatro números suman 4×85=340,4 \times 85 = 340, así que los tres restantes suman 340−97=243.340 - 97 = 243.
Su media es 243÷3=81.243 \div 3 = 81.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The four numbers sum to 4×85=340,4 \times 85 = 340, so the remaining three sum to 340−97=243.340 - 97 = 243.
Their mean is 243÷3=81.243 \div 3 = 81.
Thus, the correct answer is A .

16.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
11+12+13\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}}
What is the value of the following expression?
11+12+13\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}}
16\dfrac16
310\dfrac{3}{10}
710\dfrac{7}{10}
56\dfrac56
103\dfrac{10}{3}
Conceptos:fracción continuafracción
Nivel de dificultad: 860
Pista pequeña:
Trabaja de abajo hacia arriba: primero simplifica 2+132 + \dfrac13
Work from the bottom up: first simplify 2+132 + \dfrac13
Pista grande:
Luego 1+173=1+37,1 + \dfrac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \dfrac37, y toma el recíproco
Then 1+173=1+37,1 + \dfrac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \dfrac37, and take the reciprocal
Solución:
Empezando por dentro, 2+13=73,2 + \dfrac13 = \dfrac73, así que 173=37.\dfrac{1}{\frac{7}{3}} = \dfrac37.
Luego 1+37=107,1 + \dfrac37 = \dfrac{10}{7}, y la expresión completa es 1107=710.\dfrac{1}{\frac{10}{7}} = \dfrac{7}{10}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Starting inside, 2+13=73,2 + \dfrac13 = \dfrac73, so 173=37.\dfrac{1}{\frac{7}{3}} = \dfrac37.
Then 1+37=107,1 + \dfrac37 = \dfrac{10}{7}, and the whole expression is 1107=710.\dfrac{1}{\frac{10}{7}} = \dfrac{7}{10}.
Thus, the correct answer is C .

17.

Se quitan esquinas cuadradas, de 55 unidades por lado, de una lámina rectangular de cartón de 2020 unidades por 3030 unidades. Luego se doblan los lados para formar una caja abierta. El área de la superficie, en unidades cuadradas, del interior de la caja es
Square corners, 55 units on a side, are removed from a 2020 unit by 3030 unit rectangular sheet of cardboard. The sides are then folded to form an open box. The surface area, in square units, of the interior of the box is
300300
500500
550550
600600
10001000
Conceptos:área de superficiedesarrollo plano (geometría 3D)
Nivel de dificultad: 980
Pista pequeña:
Doblar no cambia el área; la superficie interior es igual a la lámina menos los cuatro cuadrados de las esquinas
Folding does not change area; the interior surface equals the sheet minus the four corner squares
Pista grande:
La lámina es 20×30;20 \times 30; resta cuatro cuadrados de esquina de 5×55 \times 5
The sheet is 20×30;20 \times 30; subtract four 5×55 \times 5 corner squares
Solución:
La superficie interior es exactamente una cara del cartón después de quitar las esquinas. La lámina tiene un área de 20×30=600,20 \times 30 = 600, y cada esquina quitada tiene un área de 5×5=25.5 \times 5 = 25.
Así que el área de la superficie interior es 600−4×25=500.600 - 4 \times 25 = 500.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The interior surface is exactly one face of the cardboard after the corners are removed. The sheet has area 20×30=600,20 \times 30 = 600, and each removed corner has area 5×5=25.5 \times 5 = 25.
So the interior surface area is 600−4×25=500.600 - 4 \times 25 = 500.
Thus, the correct answer is B .

18.

El rectángulo mostrado tiene longitud AC=32,AC = 32, ancho AE=20,AE = 20, y BB y FF son los puntos medios de AC‾\overline{AC} y AE‾,\overline{AE}, respectivamente. El área del cuadrilátero ABDFABDF es
The rectangle shown has length AC=32,AC = 32, width AE=20,AE = 20, and BB and FF are midpoints of AC‾\overline{AC} and AE‾,\overline{AE}, respectively. The area of the quadrilateral ABDFABDF is
320320
325325
330330
335335
340340
Conceptos:descomposición de áreasárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1090
Pista pequeña:
El rectángulo ACDEACDE tiene un área de 32×20;32 \times 20; quita las partes fuera de ABDFABDF
The rectangle ACDEACDE has area 32×20;32 \times 20; remove the parts outside ABDFABDF
Pista grande:
Resta el triángulo BCDBCD y el triángulo DEFDEF del rectángulo completo
Subtract triangle BCDBCD and triangle DEFDEF from the full rectangle
Solución:
El rectángulo ACDEACDE tiene un área de 32×20=640.32 \times 20 = 640. El triángulo BCDBCD tiene un área de 16×202=160,\dfrac{16 \times 20}{2} = 160, y el triángulo DEFDEF tiene un área de 10×322=160.\dfrac{10 \times 32}{2} = 160.
La región restante ABDFABDF tiene un área de 640−(160+160)=320.640 - (160 + 160) = 320.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Rectangle ACDEACDE has area 32×20=640.32 \times 20 = 640. Triangle BCDBCD has area 16×202=160,\dfrac{16 \times 20}{2} = 160, and triangle DEFDEF has area 10×322=160.\dfrac{10 \times 32}{2} = 160.
The remaining region ABDFABDF has area 640−(160+160)=320.640 - (160 + 160) = 320.
Thus, the correct answer is A .

19.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
(1901+1902+1903+⋯+1993)−(101+102+103+⋯+193) \begin{gathered} \small (1901 + 1902 + 1903 + \cdots + 1993) \\ \small {}- (101 + 102 + 103 + \cdots + 193) \end{gathered}
What is the value of the following expression?
(1901+1902+1903+⋯+1993)−(101+102+103+⋯+193) \begin{gathered} \small (1901 + 1902 + 1903 + \cdots + 1993) \\ \small {}- (101 + 102 + 103 + \cdots + 193) \end{gathered}
167,400167{,}400
172,050172{,}050
181,071181{,}071
199,300199{,}300
362,142362{,}142
Conceptos:emparejamiento y agrupaciónsucesión aritmética
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Empareja cada término con el que está debajo: 1901−101,1901 - 101, 1902−102,1902 - 102, …\ldots
Pair each term with the one below it: 1901−101,1901 - 101, 1902−102,1902 - 102, …\ldots
Pista grande:
Cada uno de los 9393 pares tiene diferencia 18001800
Each of the 9393 pairs has difference 18001800
Solución:
Cada número de la primera suma es exactamente 18001800 más que el número correspondiente de la segunda suma, y hay 9393 pares de este tipo.
Así que la diferencia es 93×1800=167,400.93 \times 1800 = 167{,}400.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Each number in the first sum is exactly 18001800 more than the matching number in the second sum, and there are 9393 such pairs.
So the difference is 93×1800=167,400.93 \times 1800 = 167{,}400.
Thus, the correct answer is A .

20.

Cuando 1093−9310^{93} - 93 se expresa como un solo número entero, la suma de los dígitos es
When 1093−9310^{93} - 93 is expressed as a single whole number, the sum of the digits is
1010
9393
819819
826826
833833
Conceptos:valor posicionaldígitos
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
109310^{93} es un 11 seguido de 9393 ceros; restar 9393 cambia solo el extremo derecho
109310^{93} is a 11 followed by 9393 zeros; subtracting 9393 changes only the right end
Pista grande:
El resultado es un bloque de nueves que termina en 07;07; determina cuántos nueves hay
The result is a block of nines ending in 07;07; determine how many nines there are
Solución:
Restar 9393 de 109310^{93} (un 11 seguido de 9393 ceros) da un número que es 9191 nueves seguidos de 07.07.
La suma de los dígitos es 91×9+0+7=819+7=826.91 \times 9 + 0 + 7 = 819 + 7 = 826.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Subtracting 9393 from 109310^{93} (a 11 followed by 9393 zeros) gives a number that is 9191 nines followed by 07.07.
The digit sum is 91×9+0+7=819+7=826.91 \times 9 + 0 + 7 = 819 + 7 = 826.
Thus, the correct answer is D .

21.

Si la longitud de un rectángulo se aumenta en 20%20\% y su ancho se aumenta en 50%,50\%, entonces el área se aumenta en
If the length of a rectangle is increased by 20%20\% and its width is increased by 50%,50\%, then the area is increased by
10%10\%
30%30\%
70%70\%
80%80\%
100%100\%
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
Nueva área == (nueva longitud) ×\times (nuevo ancho) =1.2×1.5= 1.2 \times 1.5 veces el área anterior
New area == (new length) ×\times (new width) =1.2×1.5= 1.2 \times 1.5 times the old area
Pista grande:
Multiplica los dos factores de crecimiento 1.21.2 y 1.51.5 para obtener el factor por el cual crece el área
Multiply the two growth factors 1.21.2 and 1.51.5 to get the factor by which the area grows
Solución:
La nueva longitud es 1.21.2 veces la anterior y el nuevo ancho es 1.51.5 veces el anterior, así que la nueva área es 1.2×1.5=1.81.2 \times 1.5 = 1.8 veces el área anterior.
Eso es un aumento del 80%.80\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The new length is 1.21.2 times the old and the new width is 1.51.5 times the old, so the new area is 1.2×1.5=1.81.2 \times 1.5 = 1.8 times the old area.
That is an increase of 80%.80\%.
Thus, the correct answer is D .

22.

Pat Peano tiene muchos 00, 11, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99, pero solo tiene veintidós 22. ¿Hasta qué número puede numerar las páginas de su álbum de recortes con estos dígitos?
Pat Peano has plenty of 00’s, 11’s, 33’s, 44’s, 55’s, 66’s, 77’s, 88’s and 99’s, but he has only twenty-two 22’s. How far can he number the pages of his scrapbook with these digits?
2222
9999
112112
119119
199199
Conceptos:dígitosenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Cuenta cuántos 22 aparecen al numerar las páginas 11 a 9999
Count how many 22’s appear when numbering pages 11 through 9999
Pista grande:
Diez 22 aparecen en la posición de las unidades y diez en la posición de las decenas hasta 99;99; luego sigue los doses restantes después de 100100
Ten 22’s appear in the units place and ten in the tens place through 99;99; then track the remaining twos past 100100
Solución:
Numerar 11 a 9999 usa diez 22 en la posición de las unidades y diez en la posición de las decenas, un total de veinte 22. Las páginas 100100 y 101101 no usan ninguno.
Los dos 22 restantes se usan en las páginas 102102 y 112.112. Después de eso, las páginas 113113 a 119119 no necesitan ningún 2,2, pero 120120 requeriría otro 2,2, así que puede numerar hasta 119.119.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Numbering 11 through 9999 uses ten 22’s in the units place and ten in the tens place, a total of twenty 22’s. Pages 100100 and 101101 use none.
The remaining two 22’s are used on pages 102102 and 112.112. After that, pages 113113 through 119119 need no 2,2, but 120120 would require another 2,2, so he can number up to 119.119.
Thus, the correct answer is D .

23.

Cinco corredores, P,P, Q,Q, R,R, S,S, T,T, participan en una carrera: PP vence a Q,Q, PP vence a R,R, QQ vence a S,S, y TT termina después de PP y antes de Q.Q. ¿Quién no pudo haber terminado tercero en la carrera?
Five runners, P,P, Q,Q, R,R, S,S, T,T, have a race, and PP beats Q,Q, PP beats R,R, QQ beats S,S, and TT finishes after PP and before Q.Q. Who could not have finished third in the race?
PP y QQ
PP and QQ
PP y RR
PP and RR
PP y SS
PP and SS
PP y TT
PP and TT
P,P, SS y TT
P,P, SS and TT
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
PP termina delante de Q,Q, R,R, y T,T, mientras que QQ termina delante de S;S; determina el puesto de PP
PP finishes ahead of Q,Q, R,R, and T,T, while QQ finishes ahead of S;S; determine PP’s place
Pista grande:
Si varios corredores deben terminar todos por delante de un corredor dado, ese corredor no puede estar tan arriba como tercero
If several runners must all finish ahead of a given runner, that runner cannot be as high as third
Solución:
Como PP vence a QQ y R,R, termina delante de T,T, y QQ vence a S,S, el corredor PP termina primero y por lo tanto no puede ser tercero.
Las pistas dan la cadena PP antes de TT antes de QQ antes de S.S. Así que P,P, T,T, y QQ terminan todos por delante de S,S, lo que significa que SS no puede quedar mejor que en cuarto lugar y tampoco puede ser tercero.
Cada uno de Q,Q, R,R, TT puede terminar tercero: por ejemplo, P,P, T,T, Q,Q, R,R, SS pone a QQ tercero; P,P, R,R, T,T, Q,Q, SS pone a TT tercero; y P,P, T,T, R,R, Q,Q, SS pone a RR tercero. Así que solo PP y SS no pueden ser terceros.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since PP beats QQ and R,R, finishes ahead of T,T, and QQ beats S,S, runner PP finishes first and so cannot be third.
The clues give the chain PP before TT before QQ before S.S. So P,P, T,T, and QQ all finish ahead of S,S, meaning SS is no better than fourth and cannot be third either.
Each of Q,Q, R,R, TT can finish third: for example P,P, T,T, Q,Q, R,R, SS puts QQ third; P,P, R,R, T,T, Q,Q, SS puts TT third; and P,P, T,T, R,R, Q,Q, SS puts RR third. So only PP and SS cannot be third.
Thus, the correct answer is C .

24.

¿Qué número está directamente encima de 142142 en este arreglo de números?
123456789101112⋯\begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 2 & 3 & 4 & & & \\ & & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & & \\ & 10 & 11 & 12 & \cdots & & & & \end{array}
What number is directly above 142142 in this array of numbers?
123456789101112⋯\begin{array}{ccccccccc} & & & & 1 & & & & \\ & & & 2 & 3 & 4 & & & \\ & & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & & \\ & 10 & 11 & 12 & \cdots & & & & \end{array}
9999
119119
120120
121121
122122
Conceptos:cuadrado perfectoreconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
Cada fila termina en un cuadrado perfecto: la fila nn termina en n2n^2
Each row ends at a perfect square: row nn ends at n2n^2
Pista grande:
142142 está en la fila que termina en 144=122;144 = 12^2; la fila de arriba termina en 121=112,121 = 11^2, y las filas se alinean en sus bordes derechos
142142 is in the row ending at 144=122;144 = 12^2; the row above ends at 121=112,121 = 11^2, and the rows line up at their right edges
Solución:
Cada fila termina en un cuadrado perfecto, así que la fila que contiene 142142 termina en 144=122,144 = 12^2, y la fila de arriba termina en 121=112.121 = 11^2.
Como las filas están alineadas en sus bordes derechos, 121121 está directamente encima de 143,143, y por lo tanto 120120 está directamente encima de 142.142.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Each row ends at a perfect square, so the row containing 142142 ends at 144=122,144 = 12^2, and the row above it ends at 121=112.121 = 11^2.
Since the rows are aligned at their right edges, 121121 sits directly above 143,143, and therefore 120120 sits directly above 142.142.
Thus, the correct answer is C .

25.

Un tablero de ajedrez consiste en cuadrados de una pulgada. Una tarjeta cuadrada, de 1.51.5 pulgadas por lado, se coloca sobre el tablero de modo que cubre parte o toda el área de cada uno de nn cuadrados. El máximo valor posible de nn es
A checkerboard consists of one-inch squares. A square card, 1.51.5 inches on a side, is placed on the board so that it covers part or all of the area of each of nn squares. The maximum possible value of nn is
44 o 55
44 or 55
66 o 77
66 or 77
88 o 99
88 or 99
1010 o 1111
1010 or 1111
1212 o más
1212 or more
Conceptos:optimizaciónTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
Una tarjeta inclinada puede cruzar más líneas de la cuadrícula que una tarjeta alineada con los cuadrados; la diagonal de la tarjeta tiene longitud 1.52+1.52=4.5≈2.1\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1
A tilted card can cross more grid lines than a card lined up with the squares; the card’s diagonal has length 1.52+1.52=4.5≈2.1\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1
Pista grande:
Intenta inclinar la tarjeta 45∘45^\circ con su centro en una esquina de la cuadrícula y cuenta en cuántos cuadrados entra cada esquina de la tarjeta
Try tilting the card 45∘45^\circ with its center on a grid corner, and count how many squares each corner of the card pokes into
Solución:
Inclina la tarjeta 45∘45^\circ y céntrala en una esquina donde se encuentran cuatro cuadrados de la cuadrícula, como se muestra. Como la diagonal de la tarjeta, 1.52+1.52=4.5≈2.1,\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1, es más larga que 2,2, cada una de las cuatro esquinas de la tarjeta pasa una línea de la cuadrícula hacia el siguiente cuadrado.
La tarjeta cubre el bloque central de 2×22 \times 2 de 44 cuadrados y se extiende a 22 cuadrados más en cada uno de sus cuatro lados, dando 4+4×2=124 + 4 \times 2 = 12 cuadrados.
Este es también el máximo posible. La tarjeta mide solo 1.51.5 pulgadas de ancho, así que su ancho y alto totales son cada uno a lo sumo 2.12.1 pulgadas; por lo tanto se encuentra dentro de un bloque de 4×44 \times 4 de 1616 cuadrados. Sus cuatro esquinas puntiagudas son las únicas partes que alcanzan el borde de ese bloque, así que nunca puede alcanzar los cuatro cuadrados de las esquinas del bloque, dejando a lo sumo 12.12. Como 1212 es alcanzable, el máximo es 12,12, que cae en el rango “1212 o más”.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Tilt the card 45∘45^\circ and center it on a corner where four grid squares meet, as shown. Because the card’s diagonal, 1.52+1.52=4.5≈2.1,\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1, is longer than 2,2, each of the four corners of the card reaches past a grid line into the next square.
The card covers the central 2×22 \times 2 block of 44 squares and pokes into 22 more squares on each of its four sides, giving 4+4×2=124 + 4 \times 2 = 12 squares.
This is also the most possible. The card is only 1.51.5 inches wide, so its overall width and height are each at most 2.12.1 inches; it therefore lies within a 4×44 \times 4 block of 1616 squares. Its four pointed corners are the only parts that reach the edge of that block, so it can never reach the four corner squares of the block, leaving at most 12.12. Since 1212 is achievable, the maximum is 12,12, which falls in the range “1212 or more.”
Thus, the correct answer is E .