Question

Cada uno de los puntos $A,B,C,D,E,$ y $F$ en la figura de abajo representa un dígito diferente del $1$ al $6.$ Cada una de las cinco líneas mostradas pasa por algunos de estos puntos. Los dígitos a lo largo de cada línea se suman para producir cinco sumas, una por cada línea. El total de las cinco sumas es $47.$ ¿Cuál es el dígito representado por $B$ ?

Each of the points $A,B,C,D,E,$ and $F$ in the figure below represents a different digit from $1$ to $6.$ Each of the five lines shown passes through some of these points. The digits along each line are added to produce five sums, one for each line. The total of the five sums is $47.$ What is the digit represented by $B?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada número se suma una vez por cada línea en la que está. Cada punto está en $2$ líneas, excepto $B$ que está en $3.$

Esto significa que $\begin{align*} 2A + 3B &+ 2C + 2D \\&+ 2E + 2F = 47, \end{align*}$ así que $\begin{align*} &2(A + B + C + D + E + F) \\ &= 47-B. \end{align*}$

Como $A,B,C,D,E,F$ son dígitos distintos del $1$ al $6,$ cada dígito se representa exactamente una vez, lo que hace $\begin{align*} &A + B + C + D + E + F \\ &= 21. \end{align*}$

Con $\begin{align*} &2(A + B + C + D + E + F) \\ &+ B = 47, \end{align*}$ sabemos que $B + 2(21)=47,$ así que $B=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each number is added once per line it is on. Every point is on $2$ lines except for $B$ which is on $3.$

This means $\begin{align*} 2A + 3B &+ 2C + 2D \\&+ 2E + 2F = 47, \end{align*}$ so $\begin{align*} &2(A + B + C + D + E + F) \\ &= 47-B. \end{align*}$

Since $A,B,C,D,E,F$ are unique digits from $1$ to $6,$ each digit is represented exactly once, making $\begin{align*} &A + B + C + D + E + F \\ &= 21. \end{align*}$

With $\begin{align*} &2(A + B + C + D + E + F) \\ &+ B = 47, \end{align*}$ we know $B + 2(21)=47,$ so $B=5.$

Thus, the correct answer is E.

2020 AMC 8 Problema 16

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 16 en otros años