Question

El valor del número de dos dígitos $\underline{a}\,\underline{b}$ en base siete es igual al valor del número de dos dígitos $\underline{b}\,\underline{a}$ en base nueve. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

The value of the two-digit number $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven equals the value of the two-digit number $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine. What is $a + b?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$14$

Respuesta: A

Conceptos:base numérica valor posicional Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Por valor posicional, $\underline{a}\,\underline{b}$ en base siete es $7a + b,$ y $\underline{b}\,\underline{a}$ en base nueve es $9b + a.$ Los igualamos: $7a + b = 9b + a,$ así que $6a = 8b,$ es decir, $3a = 4b.$ Por tanto, $a = 4t$ y $b = 3t.$ Como son numerales de dos cifras, $t \ne 0;$ como $a$ es un dígito de base siete, $t \le 1.$ Así, $a = 4$ y $b = 3,$ por lo que $a + b = 7.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

By place value, $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven is $7a + b,$ and $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine is $9b + a.$ Set them equal: $7a + b = 9b + a,$ so $6a = 8b,$ that is $3a = 4b.$ Thus $a = 4t$ and $b = 3t.$ Because these are two-digit numerals, $t \ne 0;$ because $a$ is a base-seven digit, $t \le 1.$ Hence $a = 4$ and $b = 3,$ so $a + b = 7.$ Therefore, the answer is A.

2025 AMC 10B Problema 4

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

El Problema 4 en otros años