Question

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la siguiente? $\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}$

Which of the following is equivalent to $\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}$

$3^{127} + 2^{127}$

$3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63}$ $+ 3 \cdot 2^{63}$

$3^{128} - 2^{128}$

$3^{128} + 2^{128}$

$5^{127}$

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados telescópica

Nivel de dificultad: 1070

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Multiplica el producto por $3-2=1.$ Al aplicar repetidamente la identidad de diferencia de cuadrados se obtiene $\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned}$ y la misma cancelación continúa hasta el último factor. Por lo tanto, el producto es $3^{128}-2^{128}.$

Así, C es la respuesta correcta.

Multiply the product by $3-2=1.$ Repeatedly applying the difference-of-squares identity gives $\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned}$ and the same cancellation continues through the final factor. Therefore the product is $3^{128}-2^{128}.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 10

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1070

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 10 en otros años