2021 AMC 10A Spring Problema 10

Question

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la siguiente?

\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}

Which of the following is equivalent to

\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}

3^{127} + 2^{127}

3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63}

+ 3 \cdot 2^{63}

3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63}

+ 3 \cdot 2^{63}

3^{128} - 2^{128}

3^{128} + 2^{128}

5^{127}

Multiplica por

3-2,

que es igual a

1

.

Multiply by

3-2,

which is equal to

1

Cada factor genera entonces la siguiente diferencia de cuadrados.

Each factor then creates the next difference of squares

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Multiplica el producto por

3-2=1.

Al aplicar repetidamente la identidad de diferencia de cuadrados se obtiene

\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned}

y la misma cancelación continúa hasta el último factor. Por lo tanto, el producto es

3^{128}-2^{128}.

Así, C es la respuesta correcta.

Multiply the product by

3-2=1.

Repeatedly applying the difference-of-squares identity gives

\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned}

and the same cancellation continues through the final factor. Therefore the product is

3^{128}-2^{128}.

Thus, C is the correct answer.

El Problema 10 en otros años