Question

Raashan, Sylvia y Ted juegan al siguiente juego. Cada uno comienza con $\$1.$ Suena una campana cada $15$ segundos, momento en el que cada jugador que actualmente tiene dinero elige de forma independiente y al azar a uno de los otros dos jugadores y le da $\$1$ a ese jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de que la campana haya sonado $2019$ veces, cada jugador tenga $\$1$ ?

(Por ejemplo, Raashan y Ted pueden decidir cada uno dar $\$1$ a Sylvia, y Sylvia puede decidir dar su dólar a Ted; en ese momento Raashan tendrá $\$0,$ Sylvia tendrá $\$2,$ y Ted tendrá $\$1,$ y ese es el final de la primera ronda de juego. En la segunda ronda Raashan no tiene dinero para dar, pero Sylvia y Ted podrían elegirse mutuamente para darse su $\$1$ , y las cantidades serán las mismas al final de la segunda ronda.)

Raashan, Sylvia, and Ted play the following game. Each starts with $\$1.$ A bell rings every $15$ seconds, at which time each of the players who currently has money simultaneously chooses one of the other two players independently and at random and gives $\$1$ to that player. What is the probability that after the bell has rung $2019$ times, each player will have $\$1?$

(For example, Raashan and Ted may each decide to give $\$1$ to Sylvia, and Sylvia may decide to give her dollar to Ted, at which point Raashan will have $\$0,$ Sylvia will have $\$2,$ and Ted will have $\$1,$ and that is the end of the first round of play. In the second round Raashan has no money to give, but Sylvia and Ted might choose each other to give their $\$1$ to, and the holdings will be the same at the end of the second round.)

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad recursiva simetría

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Las únicas configuraciones alcanzables, salvo el orden, son $(1,1,1)$ y $(2,1,0)$ . Un jugador no puede terminar una ronda con los $3$ dólares: quien comienza con dinero debe dar un dólar a otra persona, y nadie puede darse dinero a sí mismo. Desde $(1,1,1)$ , el siguiente estado vuelve a ser $(1,1,1)$ exactamente cuando los tres pasan sus dólares en la misma dirección cíclica, lo que tiene probabilidad $2\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac14$ .

Desde $(2,1,0)$ , llamemos $A=2,B=1,C=0$ a las cantidades de los jugadores. El siguiente estado es $(1,1,1)$ exactamente cuando $A$ le da a $B$ y $B$ le da a $C$ , una de las cuatro parejas de elecciones igualmente probables. Esto también tiene probabilidad $\dfrac14$ .

Por tanto, sin importar el estado después de $2018$ campanadas, la probabilidad de que el estado después de la siguiente sea $(1,1,1)$ es $\dfrac14$ . Así, B es la respuesta correcta.

The only reachable money configurations up to order are $(1,1,1)$ and $(2,1,0)$ . A player cannot finish a round with all $3$ dollars: anyone who begins with money must give a dollar to someone else, and no one can give to themselves. From $(1,1,1)$ , the next state is again $(1,1,1)$ exactly when all three players pass dollars in the same cyclic direction, which has probability $2\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac14$ .

From $(2,1,0)$ , label the players' holdings $A=2,B=1,C=0$ . The next state is $(1,1,1)$ exactly when $A$ gives to $B$ and $B$ gives to $C$ , one of the four equally likely pairs of choices. This also has probability $\dfrac14$ .

Therefore, regardless of the state after $2018$ rings, the probability that the state after the next ring is $(1,1,1)$ is $\dfrac14$ . Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10B Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

El Problema 22 en otros años