Question

En un plano dado, los puntos $A$ y $B$ están a $10$ unidades de distancia. ¿Cuántos puntos $C$ hay en el plano tales que el perímetro del $\triangle ABC$ sea $50$ unidades y el área del $\triangle ABC$ sea $100$ unidades cuadradas?

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

$0$

$2$

$4$

$8$

$\text{infinitely many}$

Respuesta: A

Conceptos:área del triángulo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

La condición del área fija la distancia de $C$ a la recta $AB.$ Si esa distancia es $h,$ entonces $\frac{10h}{2}=100,$ así que $h=20.$ Por tanto, $C$ debe estar en una recta paralela a $AB$ , a distancia $20.$

Como la distancia perpendicular de $C$ a la recta $AB$ es $20$ , tanto $AC$ como $BC$ son al menos $20$ . No pueden ser ambos iguales a $20$ , pues la perpendicular desde $C$ tendría que cortar la recta $AB$ en los dos puntos distintos $A$ y $B$ . Por tanto, $AC+BC>40$ , lo que contradice la condición de perímetro $AC+BC=40$ . Así, ningún punto $C$ funciona.

Por lo tanto, la respuesta es A.

The area condition fixes the distance from $C$ to line $AB.$ If that distance is $h,$ then $\frac{10h}{2}=100,$ so $h=20.$ Thus $C$ must lie on a line parallel to $AB$ at distance $20.$

Since the perpendicular distance from $C$ to line $AB$ is $20$ , both $AC$ and $BC$ are at least $20$ . They cannot both equal $20$ , because that would require the perpendicular from $C$ to meet line $AB$ at both distinct points $A$ and $B$ . Hence $AC+BC>40$ , contradicting the perimeter requirement $AC+BC=40$ . Therefore no point $C$ works.

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

El Problema 10 en otros años