Question

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $50,$ inclusive, es un entero? (Recuerda que $0! = 1.$ ) $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$

For how many integers $n$ between $1$ and $50,$ inclusive, is $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$ an integer? (Recall that $0! = 1.$ )

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Respuesta: D

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Un hecho que ayuda mucho en este problema es que $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ siempre es un entero.

Esto se debe a que cuenta las maneras de dividir $n^2$ objetos en $n$ grupos no ordenados de tamaño $n.$

Ahora, $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Por tanto, cuando $n^2$ divide a $n!,$ la expresión original es un entero; esto equivale a que $n$ divida a $(n - 1)!.$

Supongamos que $n$ es compuesto. Si $n=ab$ con $2\le a<b<n$ , los factores distintos $a$ y $b$ aparecen en $(n-1)!$ , así que $n\mid(n-1)!$ . Si $n=a^2$ con $a\ge3$ , entonces $(n-1)!$ contiene los factores distintos $a$ y $2a$ , cuyo producto es múltiplo de $n$ . Así, todo compuesto $n\ne4$ funciona. El caso $n=1$ también funciona directamente.

Recíprocamente, si $n=p$ es primo, el exponente de $p$ en el denominador es $p,$ mientras que su exponente en $(p^2-1)!$ es $p-1,$ por lo que la expresión no es un entero.

Para $n=4,$ el denominador contiene $2^{12},$ mientras que $15!$ solo contiene $2^{11},$ así que este caso tampoco funciona.

Hay $15$ primos a lo sumo $50,$ y al añadir $4,$ obtenemos $16$ valores de $n$ que no funcionan.

Por tanto, la respuesta buscada es $50 - 16 = 34.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

One fact that greatly helps with this problem is realizing that $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ is always an integer.

This is because it is the number of ways to split up $n^2$ objects into $n$ unordered groups of size $n.$

Now, we get that $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Therefore, whenever $n^2$ divides $n!,$ the original expression is an integer; this is equivalent to $n$ dividing $(n - 1)!.$

Suppose $n$ is composite. If $n=ab$ with $2\le a<b<n$ , then the distinct factors $a$ and $b$ both occur in $(n-1)!$ , so $n\mid(n-1)!$ . If $n=a^2$ with $a\ge3$ , then $(n-1)!$ contains the distinct factors $a$ and $2a$ , whose product is a multiple of $n$ . Thus every composite $n\ne4$ works. The case $n=1$ also works directly.

Conversely, if $n=p$ is prime, the exponent of $p$ in the denominator is $p,$ while its exponent in $(p^2-1)!$ is $p-1,$ so the expression is not an integer.

For $n=4,$ the denominator contains $2^{12},$ while $15!$ contains only $2^{11},$ so this case also fails.

There are $15$ primes at most $50,$ and adding $4,$ we get $16$ values for $n$ that do not work.

Therefore, the desired answer is $50 - 16 = 34.$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

El Problema 25 en otros años