Question

Sea el número de $79$ cifras que se forma escribiendo los enteros del $1$ al $44$ en orden, uno tras otro. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $45$ ? $N=123456789101112\dots4344$

Let $N=123456789101112\dots4344$ be the $79$ -digit number that is formed by writing the integers from $1$ to $44$ in order, one after the other. What is the remainder when $N$ is divided by $45?$

$1$

$4$

$9$

$18$

$44$

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto dígitos

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Para hallar el residuo al dividir entre $45,$ debemos hallar los residuos al dividir entre $5$ y $9.$ El residuo al dividir entre $5$ es el residuo de la cifra de las unidades al dividir entre $5,$ es decir, $4.$

Para hallar el residuo al dividir entre $9,$ normalmente sumamos las cifras. Sin embargo, todo número de dos cifras tiene el mismo residuo módulo $9$ que la suma de sus cifras, así que basta sumar los enteros del $1$ al $44,$ porque cada entero es congruente con su propia suma de cifras. Esta suma es $\dfrac{44\cdot45}{2}=990,$ que es múltiplo de $9.$ Por tanto, $N$ es múltiplo de $9.$

Como es múltiplo de $9$ y deja residuo $4$ al dividirse entre $5,$ su residuo al dividirse entre $45$ es $9.$

Así, la respuesta correcta es C.

To find the remainder when divided by $45,$ we must find the remainder when divided by $5$ and $9.$ The remainder when divided by $5$ is the remainder when the units digit is divided by $5,$ making it $4.$

To find the remainder when divided by $9,$ we usually find the sum of the digits. However, each double digit number has the same remainder when divided by $9$ as its digit sum, so we can just sum the integers from $1$ to $44,$ because each integer is congruent to its own digit sum. This sum is $\dfrac{44\cdot45}{2}=990,$ which is a multiple of $9.$ Thus, $N$ is a multiple of $9.$

Since it is a multiple of $9$ and has a remainder of $4$ when divided by $5,$ the remainder when divided by $45$ is $9.$

Thus, the correct answer is C .

2017 AMC 10B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 23 en otros años