Question

Las rectas con ecuaciones $ax-2y=c$ y $2x+by=-c$ son perpendiculares y se cortan en $(1, -5).$ ¿Cuánto vale $c$ ?

The lines with equations $ax-2y=c$ and $2x+by=-c$ are perpendicular and intersect at $(1, -5).$ What is $c?$

$-13$

$-8$

$2$

$8$

$13$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica pendiente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

La primera ecuación se puede reescribir como $y=\dfrac a2x-\dfrac c2,$ y la segunda como $y=-\dfrac2b x-\dfrac cb.$ Como las rectas son perpendiculares, sus pendientes tienen producto $-1,$ así que $a=b.$

Al sustituir $(x,y)=(1,-5)$ en las dos ecuaciones originales se obtiene $a+10=c$ y $2-5a=-c.$ Al sumar estas ecuaciones resulta $12-4a=0,$ así que $a=3$ y $c=13.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The first equation can be rewritten as $y=\dfrac a2x-\dfrac c2,$ and the second as $y=-\dfrac2b x-\dfrac cb.$ Because the lines are perpendicular, their slopes multiply to $-1,$ so $a=b.$

Substituting $(x,y)=(1,-5)$ into the two original equations gives $a+10=c$ and $2-5a=-c.$ Adding these equations yields $12-4a=0,$ so $a=3$ and $c=13.$

Thus, the correct answer is E .

2017 AMC 10B Problema 10

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El Problema 10 en otros años