2016 AMC 10A Problema 25

Question

¿Cuántas ternas ordenadas

(x,y,z)

de enteros positivos satisfacen

\text{lcm}(x,y) = 72,

\text{lcm}(x,z) = 600,

y

\text{lcm}(y,z)=900?

How many ordered triples

(x,y,z)

of positive integers satisfy

\text{lcm}(x,y) = 72,

\text{lcm}(x,z) = 600,

and

\text{lcm}(y,z)=900?

15

16

24

27

64

Respuesta: A

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Trata cada exponente primo de forma independiente.

Treat each prime exponent independently

Pista grande:

Las potencias de

3

y de

2

dejan cada una un pequeño conteo de condición de máximo.

The powers of

3

and

2

each leave a small max-condition count

Solución:

Factoriza los mínimos comunes múltiplos dados:

\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}

Como

\operatorname{lcm}(x,y)

no tiene factor

5

, ni

x

ni

y

tienen factor

5

, y

z

debe contener

5^2

.

Escribe

x=2^a3^b

,

y=2^c3^d

, y

z=2^e3^f5^2

. La potencia de

3

en

\operatorname{lcm}(y,z)

obliga a

d=2

, y la potencia de

2

en

\operatorname{lcm}(x,z)

obliga a

a=3

.

Las condiciones independientes restantes son

\max(b,f)=1

y

\max(c,e)=2

. Estas tienen

3

y

5

opciones ordenadas, respectivamente, así que hay

3\cdot5=15

ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factor the given least common multiples:

\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}

Since

\operatorname{lcm}(x,y)

has no factor of

5

, neither

x

nor

y

has a factor of

5

, and

z

must contain

5^2

.

Write

x=2^a3^b

,

y=2^c3^d

, and

z=2^e3^f5^2

. The power of

3

in

\operatorname{lcm}(y,z)

forces

d=2

, and the power of

2

in

\operatorname{lcm}(x,z)

forces

a=3

.

The remaining independent conditions are

\max(b,f)=1

and

\max(c,e)=2

. These have

3

and

5

ordered choices, respectively, so there are

3\cdot5=15

triples.

Thus, the correct answer is A.