2016 AMC 10A Problema 10

Question

Una alfombra está hecha con tres colores diferentes, como se muestra. Las áreas de las tres regiones de distinto color forman una progresión aritmética. El rectángulo interior mide un pie de ancho, y cada una de las dos regiones exteriores mide

1

pie de ancho en los cuatro lados. ¿Cuál es la longitud en pies del rectángulo interior?

A rug is made with three different colors as shown. The areas of the three differently colored regions form an arithmetic progression. The inner rectangle is one foot wide, and each of the two shaded regions is

1

foot wide on all four sides. What is the length in feet of the inner rectangle?

1

2

4

6

8

Respuesta: B

Conceptos:área sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea

l

la longitud del rectángulo interior.

Let the inner rectangle have length

l

Pista grande:

Las áreas de las tres regiones son

l,2l+6,2l+14

.

The three region areas are

l,2l+6,2l+14

Solución:

Sea

l

la longitud del rectángulo interior, entonces el área del rectángulo interior es

l

.

El área de la región intermedia será

(l + 2) \cdot 3 - l = 2l + 6.

El área de la región exterior es

(l + 4) \cdot 5 - (l + 2) \cdot 3 = 2l + 14.

Estos

3

valores forman una progresión aritmética, así que

\begin{aligned} l + 2l + 14 &= 2(2l + 6) \\ 3l + 14 &= 4l + 12 \\ l &= 2\end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

l

be the length of the inner rectangle. Then the area of the inner rectangle is

l.

The area of the middle region is going to be

(l + 2) \cdot 3 - l = 2l + 6.

The area of the outer region is

(l + 4) \cdot 5 - (l + 2) \cdot 3 = 2l + 14.

We know that these

3

values form an arithmetic sequence. That means that

\begin{aligned} l + 2l + 14 &= 2(2l + 6) \\ 3l + 14 &= 4l + 12 \\ l &= 2\end{aligned}

Thus, the correct answer is B .