2014 AMC 10A Problema 22

Question

En el rectángulo

ABCD,

\overline{AB}=20

y

\overline{BC}=10.

Sea

E

un punto sobre

\overline{CD}

tal que

\angle CBE=15^\circ.

¿Cuánto vale

\overline{AE}

?

In rectangle

ABCD,

\overline{AB}=20

and

\overline{BC}=10.

Let

E

be a point on

\overline{CD}

such that

\angle CBE=15^\circ.

What is

\overline{AE}?

\dfrac{20\sqrt3}3

10\sqrt3

18

11\sqrt3

20

Respuesta: E

Conceptos:triángulo rectángulo especial triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Construye un punto útil que forme un triángulo

30

-

60

-

90

.

Construct a helpful point making a

30

-

60

-

90

triangle

Pista grande:

Muestra que el punto construido es el mismo que

E

.

Show the constructed point is the same as

E

Solución:

Sea

E'

el punto sobre

\overline{CD}

tal que

AE'=AB=20

.

Como

AD=10

, el triángulo

ADE'

es un triángulo

30

-

60

-

90

, así que

\angle DAE'=60^\circ

y

\angle BAE'=30^\circ

.

Además

AE'=AB

, por lo que el triángulo

ABE'

es isósceles. Su ángulo en el vértice

A

es

30^\circ

, así que cada ángulo de la base es

75^\circ

.

Por lo tanto

\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ

, así que

E'=E

, y

AE=20

.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let

E'

be the point on

\overline{CD}

such that

AE'=AB=20

.

Since

AD=10

, triangle

ADE'

is a

30

-

60

-

90

triangle, so

\angle DAE'=60^\circ

and

\angle BAE'=30^\circ

.

Also

AE'=AB

, so triangle

ABE'

is isosceles. Its vertex angle at

A

is

30^\circ

, so each base angle is

75^\circ

.

Therefore

\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ

, so

E'=E

, and

AE=20

.

Thus, E is the correct answer.