Question

Bernardo y Silvia juegan el siguiente juego. Se selecciona un entero entre $0$ y $999$ inclusive y se le da a Bernardo. Cada vez que Bernardo recibe un número, lo duplica y pasa el resultado a Silvia. Cada vez que Silvia recibe un número, le suma $50$ y pasa el resultado a Bernardo. El ganador es la última persona que produce un número menor que $1000.$

Sea $N$ el menor número inicial que produce una victoria para Bernardo. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Bernardo and Silvia play the following game. An integer between $0$ and $999$ inclusive is selected and given to Bernardo. Whenever Bernardo receives a number, he doubles it and passes the result to Silvia. Whenever Silvia receives a number, she adds $50$ to it and passes the result to Bernardo. The winner is the last person who produces a number less than $1000.$

Let $N$ be the smallest initial number that results in a win for Bernardo. What is the sum of the digits of $N?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: A

Conceptos:recursión desigualdad dígitos

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

Si el número inicial es $x,$ las salidas sucesivas de Bernardo son $\begin{gathered} 2x,\quad4x+100,\quad8x+300,\\ 16x+700,\quad32x+1500. \end{gathered}$ La salida de Silvia después de cada una de estas es $50$ mayor. Bernardo gana en un turno exactamente cuando su salida es menor que $1000$ , pero la siguiente salida de Silvia es por lo menos $1000.$

Para los primeros cuatro turnos de Bernardo, el menor entero $x$ que satisface ambas desigualdades es, respectivamente, $475,213,82,$ y $16.$ Una quinta salida de Bernardo ya es por lo menos $1500.$ Por tanto, el menor número inicial ganador es $N=16,$ cuya suma de cifras es $1+6=7.$

Así, la respuesta correcta es A.

If the initial number is $x,$ Bernardo's successive outputs are $\begin{gathered} 2x,\quad4x+100,\quad8x+300,\\ 16x+700,\quad32x+1500. \end{gathered}$ Silvia's output after each of these is $50$ larger. Bernardo wins on a given turn exactly when his output is below $1000$ but the following output from Silvia is at least $1000.$

For the first four Bernardo turns, the smallest integer $x$ satisfying those two inequalities is, respectively, $475,213,82,$ and $16.$ A fifth Bernardo output is already at least $1500.$ Thus the smallest winning initial number is $N=16,$ whose digit sum is $1+6=7.$

Thus, the correct answer is A .

2012 AMC 10B Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

El Problema 20 en otros años