Question

Sea $R$ una región cuadrada y $n \geq 4$ un entero. Se dice que un punto $X$ en el interior de $R$ es n-particional por rayos si hay $n$ rayos que emanan de $X$ y dividen $R$ en $n$ triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son $100$ -particional por rayos pero no $60$ -particional por rayos?

Let $R$ be a square region and $n \geq 4$ an integer. A point $X$ in the interior of $R$ is called n-ray partitional if there are $n$ rays emanating from $X$ that divide $R$ into $n$ triangles of equal area. How many points are $100$ -ray partitional but not $60$ -ray partitional?

$1500$

$1560$

$2320$

$2480$

$2500$

Respuesta: C

Conceptos:descomposición de áreas punto reticular inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2490

Solución:

Escalemos el cuadrado para que tenga lado $1,$ y escribamos $X=(u,v),$ donde $u$ y $v$ son sus distancias a los lados izquierdo e inferior. Cada vértice debe estar unido a $X$ ; de lo contrario, alguna región que contenga ese vértice no sería un triángulo.

Cada uno de los $n$ triángulos tiene área $1/n.$ Un triángulo cuya base está en el lado inferior tiene altura $v,$ por lo que su base mide $2/(nv).$ Así, el número de triángulos a lo largo del lado inferior es $nv/2,$ que debe ser un entero positivo. Aplicando el mismo argumento a los cuatro lados, obtenemos que $\begin{gathered} \dfrac{nu}{2},\quad\dfrac{n(1-u)}{2},\\ \dfrac{nv}{2},\quad\dfrac{n(1-v)}{2} \end{gathered}$ son enteros positivos. Recíprocamente, cuando estos cuatro números son enteros, al subdividir cada lado en el número indicado de bases iguales y unir los puntos de división con $X$ , se producen los triángulos requeridos.

Para $n=100,$ esto dice que $u=i/50$ y $v=j/50$ , con $i,j\in\{1,2,\ldots,49\}.$ Por tanto, los puntos $100$ -particionales forman una cuadrícula de $49\times49$ . De manera similar, los puntos $60$ -particionales tienen coordenadas $u=i/30$ y $v=j/30$ , con $i,j\in\{1,2,\ldots,29\}.$

Una coordenada pertenece a ambas cuadrículas exactamente cuando $i/50=j/30,$ o sea, $3i=5j.$ Las coordenadas comunes son entonces $1/10,2/10,\ldots,9/10,$ lo que da una superposición de $9\times9$ . El número pedido es $49^2-9^2=2401-81=2320.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Scale the square to have side length $1,$ and write $X=(u,v),$ where $u$ and $v$ are its distances from the left and bottom sides. Every corner must be joined to $X$ ; otherwise one of the regions containing that corner would not be a triangle.

Each of the $n$ triangles has area $1/n.$ A triangle whose base lies on the bottom side has height $v,$ so its base has length $2/(nv).$ Therefore the number of triangles along the bottom side is $nv/2,$ which must be a positive integer. Applying the same argument to all four sides shows that $\begin{gathered} \dfrac{nu}{2},\quad\dfrac{n(1-u)}{2},\\ \dfrac{nv}{2},\quad\dfrac{n(1-v)}{2} \end{gathered}$ are positive integers. Conversely, whenever these four numbers are integers, subdividing each side into the indicated number of equal bases and joining the division points to $X$ produces the required triangles.

For $n=100,$ this says $u=i/50$ and $v=j/50$ for $i,j\in\{1,2,\ldots,49\}.$ Hence the $100$ -ray points form a $49\times49$ grid. Similarly, the $60$ -ray points have coordinates $u=i/30$ and $v=j/30$ with $i,j\in\{1,2,\ldots,29\}.$

A coordinate belongs to both grids exactly when $i/50=j/30,$ or $3i=5j.$ Thus the common coordinates are $1/10,2/10,\ldots,9/10,$ giving a $9\times9$ overlap. The requested number is $49^2-9^2=2401-81=2320.$

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 25

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2490

Solución:

El Problema 25 en otros años