2011 AMC 10A Problema 11

Question

El cuadrado

EFGH

tiene un vértice en cada lado del cuadrado

ABCD.

El punto

E

está en

\overline{AB}

con

AE=7\cdot EB.

¿Cuál es la razón entre el área de

EFGH

y el área de

ABCD

?

Square

EFGH

has one vertex on each side of square

ABCD.

Point

E

is on

\overline{AB}

with

AE=7\cdot EB.

What is the ratio of the area of

EFGH

to the area of

ABCD?

\dfrac{49}{64}

\dfrac{25}{32}

\dfrac78

\dfrac{5\sqrt{2}}{8}

\dfrac{\sqrt{14}}{4}

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras razón de áreas

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sea

EB=x

, de modo que

AB=8x

.

Let

EB=x

, so

AB=8x

Pista grande:

Un lado del cuadrado interior es la hipotenusa de un triángulo de

7x

por

x

.

A side of the inner square is the hypotenuse of a

7x

-by-

x

triangle

Solución:

Sea

x = EB.

Entonces

AB = 8x.

Aplicando el Teorema de Pitágoras a un lado de

EFGH,

obtenemos

\sqrt{(7x)^2 + x^2} = \sqrt{50x^2}

La razón buscada es entonces

\dfrac{\sqrt{50x^2}^2}{(8x)^2} = \dfrac{50}{64} = \dfrac{25}{32}.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let

x = EB.

Then

AB = 8x.

Applying the Pythagorean Theorem to a side of

EFGH,

we get

\sqrt{(7x)^2 + x^2} = \sqrt{50x^2}

The desired ratio is then

\dfrac{\sqrt{50x^2}^2}{(8x)^2} = \dfrac{50}{64} = \dfrac{25}{32}.

Thus, B is the correct answer.