Question

El señor Jones tiene ocho hijos de edades distintas. En un viaje familiar, su hija mayor, que tiene $9,$ ve una placa con un número de $4$ cifras en el que cada uno de dos dígitos aparece dos veces. «¡Mira, papá! ¡Ese número es divisible exactamente por la edad de cada uno de nosotros!», exclama. «Así es», responde el señor Jones, «y las dos últimas cifras resultan ser justo mi edad». ¿Cuál de las siguientes no es la edad de uno de los hijos del señor Jones?

Mr. Jones has eight children of different ages. On a family trip his oldest child, who is $9,$ spots a license plate with a $4$ -digit number in which each of two digits appears two times. "Look, daddy!" she exclaims. "That number is evenly divisible by the age of each of us kids!" "That's right," replies Mr. Jones, "and the last two digits just happen to be my age." Which of the following is not the age of one of Mr. Jones's children?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

Como uno de los hijos tiene $9,$ años, el número es divisible entre $9,$ de modo que su suma de cifras $2(a+b)$ es múltiplo de $9,$ lo que obliga a $a+b=9.$

Las ocho edades distintas son ocho de los nueve enteros de $1$ a $9,$ así que por lo menos una de $4$ y $8$ es una edad. Por tanto, la matrícula es divisible entre $4.$ Salvo intercambiar las dos cifras, su patrón es $aabb,$ $abab,$ o $baab.$ Al combinar estos patrones con $a+b=9$ y la divisibilidad entre $4$ , quedan $\begin{gathered} 1188,\ 2772,\ 3636,\ 5544,\\ 6336,\ 7272,\ 9900. \end{gathered}$

El último candidato haría que la edad del señor Jones fuera $00,$ así que es imposible. Ninguno de los otros seis candidatos es divisible entre $5,$ por lo que $5$ no puede ser una de las edades. Las condiciones se pueden alcanzar: $5544$ es divisible entre cada edad de $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ , y sus dos últimas cifras dan la edad del señor Jones, $44.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since a child is $9,$ the number is divisible by $9,$ so its digit sum $2(a+b)$ is a multiple of $9,$ which forces $a+b=9.$

The eight distinct ages are eight of the nine integers from $1$ through $9,$ so at least one of $4$ and $8$ is an age. Hence the plate number is divisible by $4.$ Up to interchanging the two digits, its pattern is $aabb,$ $abab,$ or $baab.$ Combining these patterns with $a+b=9$ and divisibility by $4$ leaves $\begin{gathered} 1188,\ 2772,\ 3636,\ 5544,\\ 6336,\ 7272,\ 9900. \end{gathered}$

The last candidate would make Mr. Jones's age $00,$ so it is impossible. None of the other six candidates is divisible by $5,$ so $5$ cannot be one of the children's ages. The conditions are attainable: $5544$ is divisible by each age in $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ and its last two digits give Mr. Jones's age as $44.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10B Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

El Problema 25 en otros años