Question

Elmo hace $N$ sándwiches para una recaudación de fondos. Para cada sándwich usa $B$ porciones de mantequilla de maní a $4$ ¢ por porción y $J$ porciones de mermelada a $5$ ¢ por porción. El costo de la mantequilla de maní y la mermelada para hacer todos los sándwiches es $\$2.53.$ Supón que $B,$ $J,$ y $N$ son enteros positivos con $N \gt 1.$ ¿Cuál es el costo de la mermelada que Elmo usa para hacer los sándwiches?

Elmo makes $N$ sandwiches for a fundraiser. For each sandwich he uses $B$ globs of peanut butter at $4$ ¢ per glob and $J$ blobs of jam at $5$ ¢ per blob. The cost of the peanut butter and jam to make all the sandwiches is $\$2.53.$ Assume that $B,$ $J,$ and $N$ are positive integers with $N \gt 1.$ What is the cost of the jam Elmo uses to make the sandwiches?

$\$1.05$

$\$1.25$

$\$1.45$

$\$1.65$

$\$1.85$

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

El costo total es $N(4B+5J)=253$ centavos $=11\cdot23.$ Como $N \gt 1,$ $N\in\{11,23,253\}.$

Si $N=253$ o $N=23,$ entonces $4B+5J$ es igual a $1$ u $11,$ imposible para enteros positivos.

Así que $N=11$ y $4B+5J=23,$ cuya única solución positiva es $B=2,$ $J=3.$ La mermelada cuesta $11\cdot3\cdot5=165$ centavos, o $\$1.65.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total cost is $N(4B+5J)=253$ cents $=11\cdot23.$ Since $N \gt 1,$ $N\in\{11,23,253\}.$

If $N=253$ or $N=23,$ then $4B+5J$ equals $1$ or $11,$ impossible for positive integers.

So $N=11$ and $4B+5J=23,$ whose only positive solution is $B=2,$ $J=3.$ The jam costs $11\cdot3\cdot5=165$ cents, or $\$1.65.$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10B Problema 22

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

El Problema 22 en otros años