2005 AMC 10A Problema 10

Question

Hay dos valores de

a

para los cuales la ecuación

4x^2 + ax + 8x + 9 = 0

tiene una sola solución para

x.

¿Cuál es la suma de esos valores de

a

?

There are two values of

a

for which the equation

4x^2 + ax + 8x + 9 = 0

has only one solution for

x.

What is the sum of those values of

a?

-16

-8

0

8

20

Una ecuación cuadrática tiene exactamente una solución cuando su discriminante es igual a

0

.

A quadratic has exactly one solution when its discriminant equals

0

Combina los términos lineales en

(a + 8)x,

y luego iguala

(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0

.

Combine the linear terms into

(a + 8)x,

then set

(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0

Escribiendo la ecuación como

4x^2 + (a+8)x + 9 = 0,

hay una sola solución exactamente cuando el discriminante

(a+8)^2 - 144 = 0.

Entonces

a + 8 = \pm 12,

así que

a = 4

o

a = -20,

y su suma es

-16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing the equation as

4x^2 + (a+8)x + 9 = 0,

there is one solution exactly when the discriminant

(a+8)^2 - 144 = 0.

Then

a + 8 = \pm 12,

so

a = 4

or

a = -20,

and their sum is

-16.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 10 en otros años