Question

Cuando la media, la mediana y la moda de la lista se ordenan de manera creciente, forman una progresión aritmética no constante. ¿Cuál es la suma de todos los valores reales posibles de $x$ ? $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$

When the mean, median, and mode of the list $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$ are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of $x?$

$3$

$6$

$9$

$17$

$20$

Respuesta: E

Conceptos:media mediana (datos)sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

La moda siempre es $2,$ y la media es $\mu = \dfrac{25+x}{7}.$

Si $x \leq 2,$ la mediana también es $2.$ Dos valores iguales no pueden pertenecer a una progresión aritmética no constante de tres términos, así que este caso no da soluciones.

Si $2 < x < 4,$ los valores aparecen en el orden $2 < x < \mu.$ Forman una progresión aritmética exactamente cuando $x-2 = \mu-x.$ Al sustituir $\mu$ se obtiene $x-2 = \dfrac{25+x}{7}-x,$ cuya solución es $x=3.$

Si $x \geq 4,$ la mediana es $4$ y $\mu>4.$ Por tanto, la condición es $4-2 = \mu-4,$ así que $\mu=6$ y $x=17.$

Los dos valores posibles son $3$ y $17,$ cuya suma es $20.$

Así, la respuesta correcta es E.

The mode is always $2,$ and the mean is $\mu = \dfrac{25+x}{7}.$

If $x \leq 2,$ the median is also $2.$ Two equal values cannot belong to a non-constant three-term arithmetic progression, so this case gives no solutions.

If $2 < x < 4,$ the values occur in the order $2 < x < \mu.$ They form an arithmetic progression exactly when $x-2 = \mu-x.$ Substituting for $\mu$ gives $x-2 = \dfrac{25+x}{7}-x,$ whose solution is $x=3.$

If $x \geq 4,$ the median is $4$ and $\mu>4.$ Thus the condition is $4-2 = \mu-4,$ so $\mu=6$ and $x=17.$

The two possible values are therefore $3$ and $17,$ whose sum is $20.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 10 Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

El Problema 23 en otros años