1993 AMC 12 第 30 题

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30.

已知

0\le x_0\lt1

。对所有整数

n\gt0

，定义

x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{若 }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{若 }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}\text{。}

有多少个

x_0

满足

x_0=x_5

？

Given

0\le x_0\lt1,

let

x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{if }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{if }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}

for all integers

n\gt0.

For how many

x_0

is it true that

x_0=x_5?

0

1

5

31

无穷多个

infinitely many

答案：D

知识点：iteration fractional part modular equation

难度评级：2380

小提示：

每一步都取前一项两倍的小数部分。

Each step takes the fractional part of twice the preceding value

大提示：

因此

x_5

是

32x_0

的小数部分。

Thus

x_5

is the fractional part of

32x_0

解答：

递推关系为

x_n=\{2x_{n-1}\}

，所以

x_5=\{32x_0\}

。等式

x_5=x_0

要求

32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor\text{，}

因而

31x_0

是整数。值

x_0=\frac{k}{31}

在

k=0

、

1

、

\ldots

、

30

时都满足递推关系并位于

[0,1)

内。共有

31

个值。因此正确答案是 D。

The recurrence is

x_n=\{2x_{n-1}\},

so

x_5=\{32x_0\}.

The equality

x_5=x_0

requires

32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor,

hence

31x_0

is an integer. The values

x_0=\frac{k}{31}

for

k=0,

1,

\ldots,

30

all satisfy the recurrence and lie in

[0,1).

There are

31

values. Thus the correct answer is D.