Question

Un tetraedro con cuatro caras triangulares equiláteras tiene una esfera inscrita en su interior y una esfera circunscrita a su alrededor. Para cada una de las cuatro caras, hay una esfera tangente externamente a la cara en su centro y a la esfera circunscrita. Se selecciona al azar un punto $P$ dentro de la esfera circunscrita. La probabilidad de que $P$ esté dentro de una de las cinco esferas pequeñas es la más cercana a

A tetrahedron with four equilateral triangular faces has a sphere inscribed within it and a sphere circumscribed about it. For each of the four faces, there is a sphere tangent externally to the face at its center and to the circumscribed sphere. A point $P$ is selected at random inside the circumscribed sphere. The probability that $P$ lies inside one of the five small spheres is closest to

$0$

$0.1$

$0.2$

$0.3$

$0.4$

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D esfera probabilidad geométrica volumen

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Sea $O$ el centro común de las esferas inscrita y circunscrita. Dividir el tetraedro en cuatro piezas congruentes desde $O$ muestra que el circunradio es $3$ veces el inradio, por lo que la esfera circunscrita tiene $27$ veces el volumen $V.$ de la esfera inscrita.

Si una de las otras cuatro esferas pequeñas tiene radio $s,$ su centro está a distancia $r+s$ de $O$ y también a distancia $3r-s$ de $O$ , así que $s=r.$ Estas cinco esferas tienen interiores disjuntos (la esfera central es tangente a cada una de las otras cuatro), por lo que su unión tiene volumen $5V.$ La probabilidad es $\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185,$ la más cercana a $0.2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the common center of the inscribed and circumscribed spheres. Splitting the tetrahedron into four congruent pieces from $O$ shows the circumradius is $3$ times the inradius, so the circumscribed sphere has $27$ times the inscribed sphere's volume $V.$

If one of the four other small spheres has radius $s,$ its center is $r+s$ from $O$ and also $3r-s$ from $O,$ so $s=r.$ These five spheres have disjoint interiors (the central sphere is tangent to each of the other four), so their union has volume $5V.$ The probability is $\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185,$ closest to $0.2.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2380

Solución: