1995 AMC 12 Problema 26

Question

En la figura,

\overline{AB}

y

\overline{CD}

son diámetros de la circunferencia de centro

O,

\overline{AB}\perp\overline{CD},

y la cuerda

\overline{DF}

corta a

\overline{AB}

en

E.

Si

DE=6

y

EF=2,

entonces el área del círculo es

In the figure,

\overline{AB}

and

\overline{CD}

are diameters of the circle with center

O,

\overline{AB}\perp\overline{CD},

and chord

\overline{DF}

intersects

\overline{AB}

at

E.

If

DE=6

and

EF=2,

then the area of the circle is

23\pi

\frac{47}2\pi

24\pi

\frac{49}2\pi

25\pi

Respuesta: C

Conceptos:intersecting chords coordinates circles

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

El teorema de las cuerdas que se intersecan da

AE\cdot EB=DE\cdot EF

Intersecting chords gives

AE\cdot EB=DE\cdot EF

Pista grande:

Coloca

O

en el origen y expresa

F

usando que

E

divide

\overline{DF}

en razón

3:1

Place

O

at the origin and express

F

using the fact that

E

divides

\overline{DF}

in a

3:1

ratio

Solución:

Sea

r

el radio y

OE=x.

El teorema de las cuerdas da

(r+x)(r-x)=6\cdot2,

así que

r^2-x^2=12.

Toma

O=(0,0),

D=(0,-r),

y

E=(x,0).

Como

DE:EF=3:1,

\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}

Como

F

está en la circunferencia,

\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,

por lo que

r^2=2x^2.

Así,

x^2=12

y

r^2=24.

El área es

24\pi,

y la respuesta correcta es C.

Let the radius be

r

and

OE=x.

Intersecting chords gives

(r+x)(r-x)=6\cdot2,

so

r^2-x^2=12.

Put

O=(0,0),

D=(0,-r),

and

E=(x,0).

Since

DE:EF=3:1,

\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}

Because

F

lies on the circle,

\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,

so

r^2=2x^2.

Therefore

x^2=12

and

r^2=24.

The area is

24\pi,

so the correct answer is C.