1990 AMC 12 Problema 26

Question

Diez personas forman un círculo. Cada una elige un número y se lo dice a sus dos vecinos inmediatos del círculo. Después, cada persona calcula y anuncia el promedio de los números de sus dos vecinos. La figura muestra el promedio anunciado por cada persona (no el número original que eligió). El número elegido por la persona que anunció el promedio

6

fue

Ten people form a circle. Each picks a number and tells it to the two neighbors adjacent to him in the circle. Then each person computes and announces the average of the numbers of his two neighbors. The figure shows the average announced by each person (not the original number the person picked). The number picked by the person who announced the average

6

was

1

5

6

10

no se puede determinar de manera única con la información dada

not uniquely determined from the given information

Respuesta: A

Conceptos:recurrence linear system cyclic arrangement

Nivel de dificultad: 2500

Pista pequeña:

Si

x_i

es un número elegido y

a_i

el promedio mostrado, entonces

x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i

If

x_i

is a picked number and

a_i

the displayed average, then

x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i

Pista grande:

Comienza con dos números elegidos adyacentes desconocidos y continúa alrededor del círculo

Start with two unknown adjacent picked numbers and propagate around the circle

Solución:

Numera los promedios mostrados

a_0,a_1,\ldots,a_9

en sentido horario como

1,2,\ldots,10,

y sea

x_i

el número elegido correspondiente. Escribe

x_0=t,\ x_1=u.

A partir de

x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i,

los valores sucesivos son

\begin{aligned} x_2&=4-t, &x_3&=6-u,\\ x_4&=4+t, &x_5&=4+u,\\ x_6&=8-t, &x_7&=10-u,\\ x_8&=8+t, &x_9&=8+u. \end{aligned}

Las dos ecuaciones de cierre dan

t=6

y

u=-3.

Por tanto,

x_5=4+u=1.

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Index the displayed averages

a_0,a_1,\ldots,a_9

clockwise as

1,2,\ldots,10,

and let

x_i

be the corresponding picked numbers. Write

x_0=t,\ x_1=u.

From

x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i,

successive values are

\begin{aligned} x_2&=4-t, &x_3&=6-u,\\ x_4&=4+t, &x_5&=4+u,\\ x_6&=8-t, &x_7&=10-u,\\ x_8&=8+t, &x_9&=8+u. \end{aligned}

The two closing equations give

t=6

and

u=-3.

Hence

x_5=4+u=1.

Thus the correct answer is A.