1988 AMC 12 Problema 26

Question

Supón que

p

y

q

son números positivos tales que

\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}

¿Cuál es el valor de

\frac{q}{p}

?

Suppose that

p

and

q

are positive numbers for which

\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}

What is the value of

\frac{q}{p}?

\frac43

\frac12(1+\sqrt3)

\frac85

\frac12(1+\sqrt5)

\frac{16}{9}

Llama

t

al valor común de los logaritmos

Call the common logarithm value

t

Si

r=\frac{q}{p},

compara

(\frac{16}{9})^t

con

(\frac{12}{9})^t

If

r=\frac{q}{p},

compare

(\frac{16}{9})^t

with

(\frac{12}{9})^t

Sea

t

el valor común. Entonces

p=9^t,\ q=12^t,

y

p+q=16^t.

Sea

r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.

Al dividir la última ecuación entre

p

, se obtiene

\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}

Como

r>0,

se tiene

r=\frac{1+\sqrt5}{2}.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let the common value be

t.

Then

p=9^t,\ q=12^t,

and

p+q=16^t.

Put

r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.

Dividing the last equation by

p

gives

\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}

Since

r>0,

r=\frac{1+\sqrt5}{2}.

Thus the correct answer is D.

El Problema 26 en otros años