1986 AMC 12 Problema 30
Intenta el Problema 30 del 1986 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1986 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
30.
El número de soluciones reales del sistema de ecuaciones es
The number of real solutions of the simultaneous equations is
Respuesta: B
Pista pequeña:
Las ecuaciones obligan a que las cuatro variables tengan el mismo signo
The equations force all four variables to have the same sign
Pista grande:
Para positivo, estudia en relación con y con
For positive study relative to and to
Solución:
Cada expresión tiene el mismo signo que así que las cuatro variables tienen el mismo signo. Supongamos primero que son positivas. Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, cada variable es al menos Para Si alguna variable excediera las ecuaciones producirían el ciclo estricto imposible Por tanto, la única solución positiva es Cambiar de signo las cuatro variables conserva el sistema, lo que da exactamente una solución negativa, con todas las variables iguales a Así, hay dos soluciones reales.
Por tanto, la respuesta correcta es B.
Each expression has the same sign as so all four variables have the same sign. Suppose first that they are positive. By AM-GM, every variable is at least For If any variable exceeded the equations would give the impossible strict cycle Hence the only positive solution is Negating all four variables preserves the system, giving exactly one negative solution, with all variables equal to Thus there are two real solutions.
Therefore the correct answer is B.
El Problema 30 en otros años
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