2025 AMC 10A Problema 15

Question

En la figura de abajo,

ABEF

es un rectángulo,

AD \perp DE,

AF = 7,

AB = 1,

y

AD = 5.

¿Cuál es el área de

\triangle ABC

?

In the figure below,

ABEF

is a rectangle,

AD \perp DE,

AF = 7,

AB = 1,

and

AD = 5.

What is the area of

\triangle ABC?

\dfrac{3}{8}

\dfrac{4}{9}

\dfrac{1}{8}\sqrt{13}

\dfrac{7}{15}

\dfrac{1}{8}\sqrt{15}

Respuesta: A

Conceptos:semejanza Teorema de Pitágoras cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea

x = BC.

Entonces

AC = \sqrt{1 + x^2},

CE = 7 - x,

y

CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}

.

Let

x = BC.

Then

AC = \sqrt{1 + x^2},

CE = 7 - x,

and

CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}

Pista grande:

Usa

\triangle ABC \sim \triangle EDC

para plantear una proporción y luego despeja

x

.

Use

\triangle ABC \sim \triangle EDC

to set up a proportion, then solve for

x

Solución:

Sea

x = BC.

Como

ABEF

es un rectángulo con

AB = 1

y

AF = 7,

y

AD = 5,

obtenemos

AC = \sqrt{1 + x^2},

CE = 7 - x,

y

CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}.

Los triángulos

\triangle ABC

y

\triangle EDC

son semejantes, así que

\frac{7 - x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{5 - \sqrt{1 + x^2}}{x}.

Quita denominadores y eleva al cuadrado para obtener

24x^2 + 14x - 24 = 0,

que se factoriza como

(4x - 3)(3x + 4) = 0.

La raíz positiva es

x = \tfrac{3}{4}.

Así que el área es

\tfrac12 \cdot \tfrac34 \cdot 1 = \tfrac{3}{8}.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let

x = BC.

Since

ABEF

is a rectangle with

AB = 1

and

AF = 7,

and

AD = 5,

we get

AC = \sqrt{1 + x^2},

CE = 7 - x,

and

CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}.

The triangles

\triangle ABC

and

\triangle EDC

are similar, so

\frac{7 - x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{5 - \sqrt{1 + x^2}}{x}.

Clear denominators and square to get

24x^2 + 14x - 24 = 0,

which factors as

(4x - 3)(3x + 4) = 0.

The positive root is

x = \tfrac{3}{4}.

So the area is

\tfrac12 \cdot \tfrac34 \cdot 1 = \tfrac{3}{8}.

Thus, A is the correct answer.