Question

Tres pares de zapatos diferentes se colocan en una fila de modo que ningún zapato izquierdo esté junto a un zapato derecho de un par diferente. ¿De cuántas maneras se pueden alinear estos seis zapatos?

Three different pairs of shoes are placed in a row so that no left shoe is next to a right shoe from a different pair. In how many ways can these six shoes be lined up?

$60$

$72$

$90$

$108$

$120$

Respuesta: A

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

Siempre que una $L$ se encuentra con una $R$ en el patrón de lados, esos dos zapatos deben formar pareja. Por tanto, un bloque interior no puede tener longitud $1:$ su único zapato tendría que emparejarse con ambos vecinos. Con tres $L$ y tres $R$ , los únicos patrones posibles son $LLLRRR,$ $RRRLLL,$ $LLRRRL,$ $LRRLLR,$ $LRRRLL,$ $RLLLRR,$ $RLLRRL,$ y $RRLLLR.$ Para cualquiera de los dos patrones con un solo cambio, elegimos el par en el cambio y ordenamos los zapatos restantes, obteniendo $3\cdot2\cdot2=12$ arreglos. Cada uno de los otros seis patrones tiene $6$ asignaciones de los tres pares a sus cambios. El total es $2\cdot12+6\cdot6=60.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Wherever an $L$ meets an $R$ in the side pattern, those two shoes must be mates. Thus an interior run cannot have length $1:$ its lone shoe would have to be the mate of both neighbors. With three $L$ 's and three $R$ 's, the only possible patterns are $LLLRRR,$ $RRRLLL,$ $LLRRRL,$ $LRRLLR,$ $LRRRLL,$ $RLLLRR,$ $RLLRRL,$ and $RRLLLR.$ For either one-switch pattern, choose the pair at the switch and order the remaining shoes, giving $3\cdot2\cdot2=12$ arrangements. Each of the other six patterns has $6$ assignments of the three pairs to its switches. Hence the total is $2\cdot12+6\cdot6=60.$ Therefore, the answer is A.

2024 AMC 10B Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

El Problema 20 en otros años