Question

¿Cuál es el número máximo de bolas de arcilla de radio $2$ que pueden caber completamente dentro de un cubo de lado $6$ , suponiendo que las bolas pueden ser remodeladas pero no comprimidas antes de ser empacadas en el cubo?

What is the maximum number of balls of clay with radius $2$ that can completely fit inside a cube of side length $6$ assuming that the balls can be reshaped but not compressed before they are packed in the cube?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: D

Conceptos:volumen esfera estimación

Nivel de dificultad: 870

Solución:

El cubo tiene volumen $6^3=216.$ Una bola de arcilla tiene volumen $\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3=\frac{32\pi}{3}.$

Como la arcilla puede ser remodelada pero no comprimida, el número máximo de bolas es $\left\lfloor \frac{216}{32\pi/3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{81}{4\pi}\right\rfloor.$

Como $12\lt 4\pi\lt 13,$ tenemos $6\lt \frac{81}{4\pi}\lt \frac{81}{12}\lt 7.$ Por lo tanto, la parte entera es $6.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The cube has volume $6^3=216.$ One ball of clay has volume $\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3=\frac{32\pi}{3}.$

Because the clay may be reshaped but not compressed, the maximum number of balls is $\left\lfloor \frac{216}{32\pi/3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{81}{4\pi}\right\rfloor.$

Since $12\lt 4\pi\lt 13,$ we have $6\lt \frac{81}{4\pi}\lt \frac{81}{12}\lt 7.$ Therefore the floor is $6.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 3

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 870

Solución:

El Problema 3 en otros años