Question

El triángulo isósceles $ABC$ tiene $AB = AC = 3\sqrt6,$ y un círculo de radio $5\sqrt2$ es tangente a la recta $AB$ en $B$ y a la recta $AC$ en $C.$ ¿Cuál es el área del círculo que pasa por los vértices $A,$ $B,$ y $C$ ?

Isosceles triangle $ABC$ has $AB = AC = 3\sqrt6,$ and a circle with radius $5\sqrt2$ is tangent to line $AB$ at $B$ and to line $AC$ at $C.$ What is the area of the circle that passes through vertices $A,$ $B,$ and $C?$

$24\pi$

$25\pi$

$26\pi$

$27\pi$

$28\pi$

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio cuadrilátero cíclico recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Sea $O_1$ el centro del círculo tangente a $AB$ y $AC.$ Entonces $\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ,$ así que $A,B,O_1,C$ son concíclicos.

Como los ángulos rectos en $B$ y $C$ subtienden $AO_1,$ el segmento $AO_1$ es un diámetro de este círculo. Sea $O_2$ su centro. El mismo círculo pasa por $A,B,$ y $C,$ así que es el circuncírculo buscado.

Por el teorema de Pitágoras en $\triangle ABO_1,$ $\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26}. \end{aligned}$ Por tanto, el circunradio es $\sqrt{26},$ y el área pedida es $26\pi.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $O_1$ be the center of the circle tangent to $AB$ and $AC.$ Then $\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ,$ so $A,B,O_1,C$ are concyclic.

Because the right angles at $B$ and $C$ subtend $AO_1,$ the segment $AO_1$ is a diameter of this circle. Let $O_2$ be its center. The same circle passes through $A,B,$ and $C,$ so it is the desired circumcircle.

By the Pythagorean Theorem in $\triangle ABO_1,$ $\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26}. \end{aligned}$ Therefore, the circumradius is $\sqrt{26},$ and the requested area is $26\pi.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

El Problema 15 en otros años