Question

¿De cuántas maneras se puede reordenar la sucesión $1,2,3,4,5$ de modo que no haya tres términos consecutivos crecientes ni tres términos consecutivos decrecientes?

In how many ways can the sequence $1,2,3,4,5$ be rearranged so that no three consecutive terms are increasing and no three consecutive terms are decreasing?

$10$

$18$

$24$

$32$

$44$

Respuesta: D

Conceptos:arreglos con restricciones biyección

Nivel de dificultad: 1950

Solución en video:

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Solución escrita:

Una permutación es válida exactamente cuando los cuatro signos de comparación entre términos consecutivos se alternan. Por tanto, los signos deben seguir el patrón sube-baja-sube-baja o baja-sube-baja-sube.

Para el patrón sube-baja-sube-baja, el elemento mayor, $5$ , debe ocupar la posición $2$ o la posición $4.$ Si ocupa la posición $2,$ sea $r$ el elemento en la posición $4.$ Sus dos vecinos deben ser números distintos menores que $r,$ y se pueden ordenar de $(r-1)(r-2)$ maneras. Al sumar sobre $r=1,2,3,4$ , obtenemos $0+0+2+6=8$ permutaciones. Por simetría, hay otras $8$ cuando $5$ ocupa la posición $4,$ para un total de $16$ con este patrón de comparaciones.

Reemplazar cada elemento $x$ por $6-x$ da una biyección con las permutaciones baja-sube-baja-sube, así que hay otras $16.$

El total de reordenamientos válidos es $16+16=32.$

Así, la respuesta correcta es D.

A permutation is valid exactly when the four comparison signs between consecutive terms alternate. Thus the signs must be either up-down-up-down or down-up-down-up.

For the up-down-up-down pattern, the largest entry $5$ must be in position $2$ or position $4.$ If it is in position $2,$ let the entry in position $4$ be $r.$ Its two neighbors must be distinct numbers less than $r,$ which can be ordered in $(r-1)(r-2)$ ways. Summing over $r=1,2,3,4$ gives $0+0+2+6=8$ permutations. By symmetry there are another $8$ when $5$ is in position $4,$ for a total of $16$ with this comparison pattern.

Replacing every entry $x$ by $6-x$ gives a bijection to the down-up-down-up permutations, so there are another $16.$

The total number of valid rearrangements is $16+16=32.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1950

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 20 en otros años