Question

Como se muestra en la figura, el segmento $\overline{AD}$ está dividido en tres partes iguales por los puntos $B$ y $C$ de modo que $AB=BC=CD=2.$ Tres semicírculos de radio $1,$ $\widehat{AEB},$ $\widehat{BFC},$ y $\widehat{CGD},$ tienen sus diámetros sobre $\overline{AD}$ , están en el mismo semiplano determinado por la recta $AD$ , y son tangentes a la recta $EG$ en $E,F,$ y $G,$ respectivamente. Un círculo de radio $2$ tiene su centro en $F.$ El área de la región dentro del círculo pero fuera de los tres semicírculos, sombreada en la figura, puede expresarse en la forma donde $a,b,c,$ y $d$ son enteros positivos y $a$ y $b$ son primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b+c+d$ ? $\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$

As shown in the figure, line segment $\overline{AD}$ is trisected by points $B$ and $C$ so that $AB=BC=CD=2.$ Three semicircles of radius $1,$ $\widehat{AEB},$ $\widehat{BFC},$ and $\widehat{CGD},$ have their diameters on $\overline{AD}$ , lie in the same halfplane determined by line $AD$ , and are tangent to line $EG$ at $E,F,$ and $G,$ respectively. A circle of radius $2$ has its center at $F.$ The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form $\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$ where $a,b,c,$ and $d$ are positive integers and $a$ and $b$ are relatively prime. What is $a+b+c+d?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: E

Conceptos:sector circular descomposición de áreas circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

La recta $EG$ pasa por el centro $F$ del círculo de radio $2$ , así que el semicírculo superior sombreado tiene área $2\pi$ .

La cuerda $XZ$ está sobre $AD$ , a una unidad de $F$ . Por tanto, $\angle XFZ=2\arccos\left(\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$ El segmento circular sombreado debajo de $AD$ tiene área $\begin{aligned} &\frac12(2^2)\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &\quad-\frac12(2)(2)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}-\sqrt3. \end{aligned}$

La porción entre $EG$ y $AD$ consta de cuatro piezas congruentes de la forma siguiente.

Cada pieza es un cuadrado unitario al que se le quita un cuarto de círculo unitario, así que las cuatro piezas tienen área total $4\left(1-\frac\pi4\right)=4-\pi.$

El área sombreada total es $\begin{aligned} &2\pi+\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt3\right)\\ &\quad+(4-\pi)\\ &=\frac{7\pi}{3}-\sqrt3+4. \end{aligned}$ Por tanto, $a=7$ , $b=3$ , $c=3$ y $d=4$ , lo que da $a+b+c+d=17$ .

Así, la respuesta es E.

Line $EG$ passes through the center $F$ of the radius- $2$ circle, so the shaded upper semicircle has area $2\pi$ .

The chord $XZ$ lies on $AD$ , one unit from $F$ . Thus $\angle XFZ=2\arccos\left(\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$ The shaded circular segment below $AD$ has area $\begin{aligned} &\frac12(2^2)\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &\quad-\frac12(2)(2)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}-\sqrt3. \end{aligned}$

The portion between $EG$ and $AD$ consists of four congruent pieces of the following form.

Each piece is a unit square with a quarter of a unit circle removed, so the four pieces have total area $4\left(1-\frac\pi4\right)=4-\pi.$

The total shaded area is therefore $\begin{aligned} &2\pi+\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt3\right)\\ &\quad+(4-\pi)\\ &=\frac{7\pi}{3}-\sqrt3+4. \end{aligned}$ Hence $a=7$ , $b=3$ , $c=3$ , and $d=4$ , giving $a+b+c+d=17$ .

Thus, the answer is E .

2019 AMC 10B Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

El Problema 20 en otros años