2018 AMC 10B Problema 10

Coloca $A$ en el origen con las aristas a lo largo de los ejes; halla el rectángulo $BCHE$ y su área.

Volumen $= \tfrac13$ $\times (\text{área de la base})$ $\times (\text{distancia de } M \text{ a la base})$.

Coloca $A$ en el origen con las aristas a lo largo de los ejes: $A = (0,0,0),$ $B = (3,0,0),$ $C = (3,1,0),$ $E = (0,0,2),$ $H = (0,1,2),$ $F = (3,0,2),$ $G = (3,1,2),$ de modo que $M = (3, \tfrac12, 2).$ La base $BCHE$ es un rectángulo con $BC = 1$ y $BE = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13},$ por lo que su área es $\sqrt{13}.$ Su plano es $2x + 3z = 6,$ y $M$ está a distancia $\frac{|2\cdot3 + 3\cdot2 - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ de él. El volumen es $\tfrac13 \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}} = 2.$ Por lo tanto, la respuesta es E.