Question

En el hexágono regular $ABCDEF,$ se eligen los puntos $W,$ $X,$ $Y,$ $Z$ sobre los lados $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ $\overline{FA}$ respectivamente, de modo que las rectas $AB,$ $ZW,$ $YX,$ $ED$ sean paralelas y estén igualmente espaciadas. ¿Cuál es la razón entre el área del hexágono $WCXYFZ$ y el área del hexágono $ABCDEF$ ?

In regular hexagon $ABCDEF,$ points $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are chosen on sides $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FA}$ respectively, so lines $AB,$ $ZW,$ $YX,$ and $ED$ are parallel and equally spaced. What is the ratio of the area of hexagon $WCXYFZ$ to the area of hexagon $ABCDEF?$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{10}{27}$

$\ \dfrac{11}{27}$

$\ \dfrac{4}{9}$

$\ \dfrac{13}{27}$

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular razón de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Prolonguemos $\overline{FE}$ y $\overline{CD}$ hasta que se corten en $P.$

Sea $d$ la distancia entre $ZW$ y $FC.$ Como las cuatro rectas dadas están igualmente espaciadas y $FC$ está a mitad de camino entre $ZW$ y $YX,$ la distancia de $ED$ a $ZW$ es $2d.$ Sea $h$ la altura desde $P$ hasta $ED.$ Los triángulos equiláteros $PED$ y $PFC$ tienen lados en razón $1:2,$ así que sus alturas satisfacen $h+3d=2h,$ de donde $h=3d.$ Por lo tanto, la razón entre los lados de $PZW$ y $PED$ es $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

Tomando $[PED]=1,$ la semejanza da $[PZW]=\frac{25}{9}$ y $[PFC]=4.$ Entonces $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$ El hexágono buscado consta de dos copias congruentes de $ZWCF,$ mientras que el hexágono regular consta de dos copias congruentes de $EDCF.$ Por tanto, la razón pedida es $\frac{11/9}{3}=\frac{11}{27}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet at $P.$

Let $d$ be the distance between $ZW$ and $FC.$ Because the four given lines are equally spaced and $FC$ lies halfway between $ZW$ and $YX,$ the distance from $ED$ to $ZW$ is $2d.$ Let the altitude from $P$ to $ED$ be $h.$ The equilateral triangles $PED$ and $PFC$ have side lengths in the ratio $1:2,$ so their altitudes satisfy $h+3d=2h,$ giving $h=3d.$ Therefore the side-length ratio of $PZW$ to $PED$ is $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

Taking $[PED]=1,$ similarity gives $[PZW]=\frac{25}{9}$ and $[PFC]=4.$ Hence $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$ The desired hexagon consists of two congruent copies of $ZWCF,$ while the regular hexagon consists of two congruent copies of $EDCF.$ Thus the requested ratio is $\frac{11/9}{3}=\frac{11}{27}.$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

El Problema 23 en otros años