2015 AMC 10A Problema 15

Question

Considera el conjunto de todas las fracciones

\dfrac{x}{y},

donde

x

y

y

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuántas de estas fracciones tienen la propiedad de que, si tanto el numerador como el denominador se aumentan en

1,

el valor de la fracción aumenta en

10\%

?

Consider the set of all fractions

\dfrac{x}{y},

where

x

and

y

are relatively prime positive integers. How many of these fractions have the property that if both numerator and denominator are increased by

1,

the value of the fraction is increased by

10\%?

0

1

2

3

\text{infinitas}

\text{infinitely many}

Respuesta: B

Conceptos:Ecuación diofántica Truco de factorización favorito de Simon fracción

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Convierte la condición sobre la fracción en una factorización.

Turn the fraction condition into a factorization

Pista grande:

Solo pueden funcionar los pares de factores negativos con

y+11>11

.

Only negative factor pairs with

y+11>11

can work

Solución:

La condición es

\frac{x+1}{y+1}=\frac{11}{10}\cdot\frac{x}{y}.

Multiplicando en cruz obtenemos

10y(x+1)=11x(y+1)

, es decir,

xy+11x-10y=0

.

Al factorizar por agrupación después de restar

110

, obtenemos

(x-10)(y+11)=-110.

Como

x,y

son positivos, los pares de factores negativos útiles son

(-1,110)

,

(-2,55)

y

(-5,22)

, que producen

(x,y)=(9,99),(8,44),(5,11)

.

Solo

\frac{5}{11}

tiene numerador y denominador primos entre sí, así que exactamente una fracción funciona.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The condition is

\frac{x+1}{y+1}=\frac{11}{10}\cdot\frac{x}{y}.

Cross-multiplying gives

10y(x+1)=11x(y+1)

, or

xy+11x-10y=0

.

Factoring by grouping after subtracting

110

gives

(x-10)(y+11)=-110.

Since

x,y

are positive, the useful negative factor pairs are

(-1,110)

,

(-2,55)

, and

(-5,22)

, producing

(x,y)=(9,99),(8,44),(5,11)

.

Only

\frac{5}{11}

has relatively prime numerator and denominator, so exactly one fraction works.

Thus, B is the correct answer.