Question

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble del de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?

A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?

$\dfrac32$

$\dfrac{1+\sqrt5}2$

$\sqrt3$

$2$

$\dfrac{3+\sqrt5}2$

Respuesta: E

Conceptos:cono esfera volumen

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Sea $1$ el radio superior, $R$ el radio inferior y $a$ el radio de la esfera inscrita.

En la sección transversal, la esfera es tangente a las dos bases, así que la altura del tronco es $2a$ . Si el centro de la esfera es el origen, un lado inclinado une $(1,a)$ con $(R,-a)$ . Su ecuación es $2ax+(R-1)y-a(R+1)=0.$ Como esta recta es tangente al círculo de radio $a$ , su distancia al origen es $a$ . Por tanto, $\frac{a(R+1)}{\sqrt{4a^2+(R-1)^2}}=a,$ lo que se simplifica a $R=a^2$ .

El volumen del tronco es $\frac13\pi(R^2+R+1)(2a)$ $=\frac{2a\pi}{3}(a^4+a^2+1)$ .

Esto es el doble del volumen de la esfera, $\frac{8a^3\pi}{3}$ . Al cancelar, obtenemos $a^4-3a^2+1=0$ , por lo que $R^2-3R+1=0$ .

Como el radio inferior es mayor que el superior, $R>1$ . Así, $R=\frac{3+\sqrt5}{2}$ , y la respuesta correcta es E.

Let the top radius be $1$ , the bottom radius be $R$ , and the inscribed sphere radius be $a$ .

In the cross-section, the sphere is tangent to the two bases, so the frustum height is $2a$ . A slanted side joins $(1,a)$ to $(R,-a)$ , if the sphere's center is the origin. Its equation is $2ax+(R-1)y-a(R+1)=0.$ Because this line is tangent to the circle of radius $a$ , its distance from the origin is $a$ . Thus $\frac{a(R+1)}{\sqrt{4a^2+(R-1)^2}}=a,$ which simplifies to $R=a^2$ .

The frustum volume is $\frac13\pi(R^2+R+1)(2a)$ $=\frac{2a\pi}{3}(a^4+a^2+1)$ .

This is twice the sphere volume, $\frac{8a^3\pi}{3}$ . Cancelling gives $a^4-3a^2+1=0$ , so $R^2-3R+1=0$ .

Since the bottom radius is larger than the top radius, $R>1$ . Thus $R=\frac{3+\sqrt5}{2}$ , and the correct answer is E .

2014 AMC 10B Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

El Problema 23 en otros años