Question

En el $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14,$ y $CA=15.$ Los puntos distintos $D,$ $E,$ y $F$ están en los segmentos $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ y $\overline{DE},$ respectivamente, de modo que $\overline{AD}\perp\overline{BC},$ $\overline{DE}\perp\overline{AC},$ y $\overline{AF}\perp\overline{BF}.$ La longitud del segmento $\overline{DF}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

In triangle $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14,$ and $CA=15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ and $\overline{DE},$ respectively, such that $\overline{AD}\perp\overline{BC},$ $\overline{DE}\perp\overline{AC},$ and $\overline{AF}\perp\overline{BF}.$ The length of segment $\overline{DF}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrilátero cíclico Teorema de Ptolomeo altura semejanza

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Sea $BD=x$ , de modo que $CD=14-x$ . Al aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos $ABD$ y $ACD$ , obtenemos $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2.$ Por tanto, $BD=5$ , $CD=9$ y $AD=12$ .

Esto produce el siguiente diagrama:

Como $AD\perp BC$ y $DE\perp AC$ , tenemos $\angle ADE=\angle ACD$ . Además, $\angle AFB=\angle ADB=90^\circ$ , por lo que $A,B,D,F$ son concíclicos. Entonces $\angle ABF=\angle ADF=\angle ACD.$ En el triángulo rectángulo $ACD$ , $\cos(\angle ACD)=\frac35$ y $\sin(\angle ACD)=\frac45$ . Por consiguiente, en el triángulo rectángulo $ABF$ , $\begin{aligned} BF&=13\cdot\frac35,\\ AF&=13\cdot\frac45. \end{aligned}$

Por el teorema de Ptolomeo, $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD . \end{aligned}$ Por tanto, $\begin{aligned} 13\cdot DF&+5\left(13\cdot\frac45\right)\\ &=12\left(13\cdot\frac35\right). \end{aligned}$

Al dividir entre $13$ , obtenemos $DF+4=\frac{36}{5}$ , así que $DF=\frac{16}{5}$ . Por tanto, $m+n=21$ , y la respuesta correcta es B.

Let $BD=x$ , so $CD=14-x$ . Applying the Pythagorean Theorem to right triangles $ABD$ and $ACD$ gives $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2.$ Thus $BD=5$ , $CD=9$ , and $AD=12$ .

This yields the following diagram:

Because $AD\perp BC$ and $DE\perp AC$ , we have $\angle ADE=\angle ACD$ . Also, $\angle AFB=\angle ADB=90^\circ$ , so $A,B,D,F$ are concyclic. Hence $\angle ABF=\angle ADF=\angle ACD.$ In right triangle $ACD$ , $\cos(\angle ACD)=\frac35$ and $\sin(\angle ACD)=\frac45$ . Therefore, in right triangle $ABF$ , $\begin{aligned} BF&=13\cdot\frac35,\\ AF&=13\cdot\frac45. \end{aligned}$

By Ptolemy's Theorem, we get $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD . \end{aligned}$ Therefore, $\begin{aligned} 13\cdot DF&+5\left(13\cdot\frac45\right)\\ &=12\left(13\cdot\frac35\right). \end{aligned}$

Dividing by $13$ gives $DF+4=\frac{36}{5}$ , so $DF=\frac{16}{5}$ . Thus $m+n=21$ , and the correct answer is B .

2013 AMC 10B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

El Problema 23 en otros años