2013 AMC 10A Problema 23

Question

En

\triangle ABC,

AB = 86,

y

AC=97.

Una circunferencia con centro

A

y radio

AB

corta a

\overline{BC}

en los puntos

B

y

X.

Además,

\overline{BX}

y

\overline{CX}

tienen longitudes enteras. ¿Cuánto vale

BC

?

In

\triangle ABC,

AB = 86,

and

AC=97.

A circle with center

A

and radius

AB

intersects

\overline{BC}

at points

B

and

X.

Moreover

\overline{BX}

and

\overline{CX}

have integer lengths. What is

BC?

11

28

33

61

72

Respuesta: D

Conceptos:potencia de un punto factorización en primos desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Usa la potencia de un punto desde

C

.

Use power of a point from

C

Pista grande:

Factoriza

AC^2-AB^2

y usa la desigualdad triangular para elegir el par de factores válido.

Factor

AC^2-AB^2

and use the triangle inequality to choose the valid factor pair

Solución:

Por la potencia de un punto desde

C

,

CB\cdot CX

=AC^2-AB^2

=97^2-86^2

.

Esto es igual a

(97-86)(97+86)

=11\cdot183

=2013

=3\cdot11\cdot61

.

Tanto

CX

como

BX

son enteros, así que

BC=BX+CX

es un factor entero emparejado con

CX

. Además,

CX<BC<86+97=183

, por lo que el único par posible es

CX=33

,

BC=61

.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

By power of a point from

C

,

CB\cdot CX

=AC^2-AB^2

=97^2-86^2

.

This equals

(97-86)(97+86)

=11\cdot183

=2013

=3\cdot11\cdot61

.

Both

CX

and

BX

are integers, so

BC=BX+CX

is an integer factor paired with

CX

. Also

CX<BC<86+97=183

, so the only possible pair is

CX=33

,

BC=61

.

Thus, D is the correct answer.