Question

Las entradas de un arreglo $3 \times 3$ incluyen todos los dígitos del $1$ al $9,$ dispuestos de modo que las entradas de cada fila y cada columna estén en orden creciente. ¿Cuántos arreglos de este tipo hay?

The entries in a $3 \times 3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

Respuesta: D

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

Sea $a_{ij}$ la entrada de la fila $i$ y la columna $j.$ Las condiciones de crecimiento obligan a que $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ y que $a_{22}$ sea $4,5,$ o $6.$

Si $a_{22}=4,$ entonces $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}.$ Elegimos cuáles dos de $5,6,7,8$ van en el par inferior izquierdo $\{a_{31},a_{32}\};$ los otros dos van en el par superior derecho $\{a_{13},a_{23}\}.$ Cada par tiene entonces un único orden creciente. Hay $2\binom42=12$ arreglos: dos órdenes para $2,3$ alrededor de la esquina superior izquierda y $\binom42$ elecciones para el par inferior izquierdo. Al invertir los dígitos y rotar el arreglo, también hay $12$ arreglos con centro $6.$

Si $a_{22}=5,$ elegimos las tres entradas de las posiciones $a_{12},a_{13},a_{23}.$ Pueden ser cualesquiera tres de $\{2,3,4,6,7,8\}$ , salvo $\{2,3,4\}$ o $\{6,7,8\};$ esas dos elecciones pondrían las tres entradas pequeñas o las tres grandes a un solo lado y violarían una comparación necesaria con el centro. Cualquier otra elección determina de manera única las entradas restantes y sus órdenes crecientes. Esto da $\binom63-2=18$ arreglos.

El total es $12+18+12=42.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $a_{ij}$ be the entry in row $i$ and column $j.$ The increasing conditions force $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ and $a_{22}$ to be $4,5,$ or $6.$

If $a_{22}=4,$ then $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}.$ Choose which two of $5,6,7,8$ go in the bottom-left pair $\{a_{31},a_{32}\};$ the other two go in the top-right pair $\{a_{13},a_{23}\}.$ Each pair then has only one increasing order. There are $2\binom42=12$ arrays: two orders for $2,3$ around the upper-left corner and $\binom42$ choices for the bottom-left pair. By reversing the digits and rotating the array, there are also $12$ arrays with center $6.$

If $a_{22}=5,$ choose the three entries in positions $a_{12},a_{13},a_{23}.$ They can be any three of $\{2,3,4,6,7,8\}$ except $\{2,3,4\}$ or $\{6,7,8\};$ those two choices would put all three small or all three large entries on one side and violate a required comparison with the center. Every other choice uniquely determines the remaining entries and their increasing orders. This gives $\binom63-2=18$ arrays.

The total is $12+18+12=42.$

Thus, D is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

El Problema 23 en otros años