2007 AMC 10A Problema 23

Question

¿Cuántos pares ordenados

(m, n)

de enteros positivos, con

m \gt n,

tienen la propiedad de que sus cuadrados difieren en

96

?

How many ordered pairs

(m, n)

of positive integers, with

m \gt n,

have the property that their squares differ by

96?

3

4

6

9

12

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados Ecuación diofántica paridad

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Escribe

m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 96

.

Write

m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 96

Pista grande:

m + n

y

m - n

tienen la misma paridad, así que ambos deben ser pares.

m + n

and

m - n

have the same parity, so both must be even

Solución:

Los factores

m + n

y

m - n

tienen la misma paridad. Como su producto es

96,

no pueden ser ambos impares, así que ambos deben ser pares.

Los pares de factores pares son

(48, 2),

(24, 4),

(16, 6),

y

(12, 8),

que dan

(m, n) = (25, 23),

(14, 10),

(11, 5),

y

(10, 2).

Así que hay

4

pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The factors

m + n

and

m - n

have the same parity. Since their product is

96,

they cannot both be odd, so both must be even.

The even factor pairs are

(48, 2),

(24, 4),

(16, 6),

and

(12, 8),

giving

(m, n) = (25, 23),

(14, 10),

(11, 5),

and

(10, 2).

So there are

4

ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.