2007 AMC 10A Problema 20

Question

Supón que el número

a

satisface la ecuación

4 = a + a^{-1}.

¿Cuál es el valor de

a^4 + a^{-4}

?

Suppose that the number

a

satisfies the equation

4 = a + a^{-1}.

What is the value of

a^4 + a^{-4}?

164

172

192

194

212

Elevar al cuadrado

a + a^{-1}

da

a^2 + 2 + a^{-2}

.

Squaring

a + a^{-1}

gives

a^2 + 2 + a^{-2}

Eleva al cuadrado

a^2 + a^{-2}

y resta el término central

2

.

Square

a^2 + a^{-2}

and subtract the middle term

2

Al elevar al cuadrado

a + a^{-1} = 4

se obtiene

a^2 + 2 + a^{-2} = 16,

así que

a^2 + a^{-2} = 14.

Al elevar al cuadrado de nuevo se obtiene

a^4 + 2 + a^{-4} = 196,

así que

a^4 + a^{-4} = 194.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Squaring

a + a^{-1} = 4

gives

a^2 + 2 + a^{-2} = 16,

so

a^2 + a^{-2} = 14.

Squaring again gives

a^4 + 2 + a^{-4} = 196,

so

a^4 + a^{-4} = 194.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 20 en otros años