2007 AMC 10A Problema 15

Question

Cuatro círculos de radio

1

son cada uno tangentes a dos lados de un cuadrado y tangentes externamente a un círculo de radio

2,

como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrado?

Four circles of radius

1

are each tangent to two sides of a square and externally tangent to a circle of radius

2,

as shown. What is the area of the square?

32

22 + 12\sqrt{2}

16 + 16\sqrt{3}

48

36 + 16\sqrt{2}

Conecta el centro del círculo grande con los centros de dos círculos pequeños adyacentes.

Connect the center of the large circle to the centers of two adjacent small circles

Ese triángulo es rectángulo isósceles con catetos

2 + 1 = 3,

así que su hipotenusa es

3\sqrt2

.

That triangle is isosceles right with legs

2 + 1 = 3,

so its hypotenuse is

3\sqrt2

Considera el triángulo rectángulo isósceles que une el centro del círculo de radio

2

con los centros de dos círculos pequeños adyacentes. Sus catetos tienen longitud

2 + 1 = 3,

así que su hipotenusa es

3\sqrt2.

El lado del cuadrado supera a esta hipotenusa en

2

(un radio en cada extremo), así que

s = 2 + 3\sqrt2.

El área es

\begin{aligned} (2 + 3\sqrt2)^2 &= 4 + 12\sqrt2 + 18 \\ &= 22 + 12\sqrt2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Consider the isosceles right triangle joining the center of the radius-

2

circle to the centers of two adjacent small circles. Its legs have length

2 + 1 = 3,

so its hypotenuse is

3\sqrt2.

The side of the square exceeds this hypotenuse by

2

(one radius on each end), so

s = 2 + 3\sqrt2.

The area is

\begin{aligned} (2 + 3\sqrt2)^2 &= 4 + 12\sqrt2 + 18 \\ &= 22 + 12\sqrt2. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

El Problema 15 en otros años