1992 AMC 12 第 26 题

Question

半圆弧

\overset{\frown}{AB}

的圆心为

C

，半径为

1

。点

D

在

\overset{\frown}{AB}

上，且

CD\perp AB

。分别延长

\overline{BD}

和

\overline{AD}

至

E

和

F

，使圆弧

\overset{\frown}{AE}

和

\overset{\frown}{BF}

的圆心分别为

B

和

A

。圆弧

\overset{\frown}{EF}

的圆心为

D

。阴影“笑脸”区域

AEFBDA

的面积为

Semicircle

\overset{\frown}{AB}

has center

C

and radius

1.

Point

D

is on

\overset{\frown}{AB}

and

CD\perp AB.

Extend

\overline{BD}

and

\overline{AD}

to

E

and

F,

respectively, so that circular arcs

\overset{\frown}{AE}

and

\overset{\frown}{BF}

have

B

and

A

as their respective centers. Circular arc

\overset{\frown}{EF}

has center

D.

The area of the shaded “smile,”

AEFBDA,

is

(2-\sqrt2)\pi

2\pi-\pi\sqrt2-1

\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\pi

\frac{5\pi}{2}-\pi\sqrt2-1

(3-2\sqrt2)\pi

答案：B

知识点：sector area semicircle isosceles right triangle composite region

难度评级：2260

小提示：

利用

AC=BC=CD=1

找出两个等腰直角三角形，并确定相关半径

Use

AC=BC=CD=1

to identify two isosceles right triangles and determine the relevant radii

大提示：

将笑脸区域表示为一个

90^\circ

扇形加两个

45^\circ

扇形，再减去三角形

ABD

和半圆

ADB

Express the smile as one

90^\circ

sector plus two

45^\circ

sectors, then subtract triangle

ABD

and semicircle

ADB

解答：

三角形

ACD

和

BCD

都是等腰直角三角形，所以

AD=BD=\sqrt2

、

\angle ADB=90^\circ

，且

DE=DF=2-\sqrt2

。笑脸区域等于

90^\circ

扇形

EDF

加上全等的两个

45^\circ

扇形

ABE

和

BAF

，再减去三角形

ABD

与原半圆。其面积为

\begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1 \end{aligned}\text{。}

因此正确答案是 B。

Triangles

ACD

and

BCD

are isosceles right triangles, so

AD=BD=\sqrt2,

\angle ADB=90^\circ,

and

DE=DF=2-\sqrt2.

The smile is the

90^\circ

sector

EDF,

plus the congruent

45^\circ

sectors

ABE

and

BAF,

minus triangle

ABD

and the original semicircle. Its area is

\begin{aligned} &\frac14\pi(2-\sqrt2)^2 +2\left(\frac18\pi\cdot2^2\right)\\ &\qquad-\frac12(2)(1)-\frac12\pi\\ &=2\pi-\pi\sqrt2-1. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

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