Question

设 $n$ 为正整数。若方程 $2x+2y+z=n$ 有 $28$ 组正整数解 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ，则 $n$ 必为下列哪一组数中的一个？

Let $n$ be a positive integer. If the equation $2x+2y+z=n$ has $28$ solutions in positive integers $x,$ $y$ and $z,$ then $n$ must be either

$14$ 或 $15$

$14$ or $15$

$15$ 或 $16$

$15$ or $16$

$16$ 或 $17$

$16$ or $17$

$17$ 或 $18$

$17$ or $18$

$18$ 或 $19$

$18$ or $19$

答案：D

知识点：丢番图方程求和数对计数

难度评级：2340

小提示：

按照 $s=x+y$ 的值对解进行分类

Group solutions according to $s=x+y$

大提示：

固定 $s$ 后，数出正整数有序数对 $(x,y)$ 的个数，并要求 $n-2s\ge1$

For fixed $s,$ count the positive ordered pairs $(x,y)$ and require $n-2s\ge1$

解答：

对于 $s=x+y\ge2$ ，共有 $s-1$ 个正整数有序数对 $(x,y)$ ；而 $z=n-2s$ 在 $s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$ 时为正数。令 $m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$ ，解的个数为 $\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2\text{。}$ 令它等于 $28$ ，得到 $m=8$ 。因此 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8$ ，所以 $n=17$ 或 $18$ 。

所以正确答案是 D。

For $s=x+y\ge2,$ there are $s-1$ positive ordered pairs $(x,y),$ and $z=n-2s$ is positive when $s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$ Writing $m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,$ the number of solutions is $\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2.$ Setting this equal to $28$ gives $m=8.$ Hence $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8,$ so $n=17$ or $18.$

Thus the correct answer is D.

1989 AMC 12 第 27 题

答案：D

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题