Question

在 $xy$ 平面内，考虑图形 $(x+y-5)(2x-3y+5)=0$ 和图形 $(x-y+1)(3x+2y-12)=0\text{。}$ 这两个图形有多少个不同的公共点？

The number of distinct points in the $xy$ -plane common to the graphs of $(x+y-5)(2x-3y+5)=0$ and $(x-y+1)(3x+2y-12)=0$ is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

无穷多个

infinite

答案：B

知识点：方程组零积性质交点计数

难度评级：1640

小提示：

每个乘积方程都表示两条直线的并集

Each product equation represents a union of two lines

大提示：

先检查每组两条直线的交点，再考虑四种配对

Check the intersection of the two lines in each pair before considering all four pairings

解答：

第一个图形是以下两条直线的并集： $x+y=5,\qquad 2x-3y=-5\text{，}$ 这两条直线交于 $(2,3)$ 。第二个图形是以下两条直线的并集： $x-y=-1,\qquad 3x+2y=12\text{，}$ 它们也交于 $(2,3)$ 。事实上，将 $(2,3)$ 代入可知，它满足四条直线的方程。由于四条直线的斜率各不相同，不会有其他点同时属于两个图形。因此恰有一个公共点。

因此，正确答案是 B。

The first graph is the union of $x+y=5,\qquad 2x-3y=-5,$ and those two lines meet at $(2,3).$ The second graph is the union of $x-y=-1,\qquad 3x+2y=12,$ and these also meet at $(2,3).$ In fact, substituting $(2,3)$ satisfies all four line equations. Since the four lines have distinct slopes, no other point can belong to a line from each graph. There is exactly one common point.

Therefore, the correct answer is B.

1970 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题