Question

求正整数有序解 $(m, n)$ 的个数，使得 $20m + 12n = 2012.$

Find the number of ordered pairs of positive integer solutions $(m, n)$ to the equation $20m + 12n = 2012.$

答案

答案：34

难度评级：1870

解答：

两边除以 $4$ ，得到 $5m + 3n = 503$ 。对 $3$ 取模，需要 $2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3}$ ，所以 $m \equiv 1 \pmod{3}$ 。令 $m = 3k + 1$ ，其中 $k \ge 0$ ；则 $3n = 503 - 5(3k + 1)$ $= 498 - 15k$ ，所以 $n = 166 - 5k$ 。

当且仅当 $5k \le 165$ ，也就是 $k \le 33$ 时，该值为正。因此 $k = 0, 1, \ldots, 33$ 全部可行，共有 $34$ 个有序数对。

Dividing by $4$ gives $5m + 3n = 503.$ Reducing modulo $3,$ we need $2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3},$ so $m \equiv 1 \pmod{3}.$ Write $m = 3k + 1$ with $k \ge 0;$ then $3n = 503 - 5(3k + 1)$ $= 498 - 15k,$ so $n = 166 - 5k.$

This is positive exactly when $5k \le 165,$ that is $k \le 33.$ So $k = 0, 1, \ldots, 33$ all work, giving $34$ ordered pairs.

2012 AIME II 第 1 题

答案：34

难度评级：1870

解答：

其他年份的第 1 题