Question

若一个三位数有 $3$ 个互不相同的数字，并且从左到右读这些数字时，它们构成一个等比数列，则称这个三位数为等比数。求最大的等比数与最小的等比数之差。

Call a 3-digit number geometric if it has $3$ distinct digits which, when read from left to right, form a geometric sequence. Find the difference between the largest and smallest geometric numbers.

答案

答案：840

知识点：等比数列数字分类讨论

难度评级：1950

解答：

将三个数字写成 $a$ 、 $ar$ 、 $ar^2$ 。对于最大的等比数，取 $a = 9$ 。若整数公比至少为 $2$ ，下一位数字就会超过 $9$ ，而 $r = 1$ 会使数字重复，所以 $r$ 是一个分数，并且它的分母平方必须整除 $9$ 。 $r = \frac{2}{3}$ 和 $r = \frac{1}{3}$ 分别给出 $964$ 和 $931$ ，最大的是 $964$ 。

对于最小的等比数，取百位数字为 $1$ 。此时十位数字 $r$ 必须是至少为 $2$ 的整数（数字互不相同），而 $r = 2$ 给出 $124$ ，比 $r = 3$ 给出的 $139$ 更小。

差为 $964 - 124 = 840$ 。

Write the digits as $a,$ $ar,$ $ar^2.$ For the largest geometric number, take $a = 9.$ An integer ratio at least $2$ would push the next digit past $9,$ and $r = 1$ repeats digits, so $r$ is a fraction whose denominator squares into $9:$ the choices $r = \frac{2}{3}$ and $r = \frac{1}{3}$ give $964$ and $931.$ The largest is $964.$

For the smallest, take hundreds digit $1.$ Then the tens digit $r$ must be an integer at least $2$ (the digits are distinct), and $r = 2$ gives $124,$ which beats $r = 3$ 's $139.$

The difference is $964 - 124 = 840.$

2009 AIME I 第 1 题

答案：840

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 1 题