Question

一个数学组织正在制作一套纪念车牌。每块车牌包含一个由 AIME 中的四个字母和 $2007$ 中的四个数字选出的五个字符序列。任一字符在序列中出现的次数不得超过它在 AIME 的四个字母或 $2007$ 的四个数字中出现的次数。若一套车牌中每一种可能的序列恰好出现一次，共有 $N$ 块车牌。求 $\frac{N}{10}$ 。

A mathematical organization is producing a set of commemorative license plates. Each plate contains a sequence of five characters chosen from the four letters in AIME and the four digits in $2007.$ No character may appear in a sequence more times than it appears among the four letters in AIME or the four digits in $2007.$ A set of plates in which each possible sequence appears exactly once contains $N$ license plates. Find $\frac{N}{10}.$

答案

答案：372

知识点：排列分类讨论乘法原理

难度评级：1890

解答：

可用的字符是七个不同符号 A、I、M、E、 $2$ ， $0$ ， $7$ ，其中 $0$ 最多可用两次，其他每个字符最多用一次。使用至多一个 $0$ 的序列，就是从七个不同字符中选出五个并排序： $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$ 。

使用两个 $0$ 的序列：用 $\binom{5}{2} = 10$ 种方法选择两个 $0$ 的位置，再从其他六个字符中选出三个不同字符按顺序填入，方法数为 $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ ，共 $1200$ 个序列。

因此 $N = 2520 + 1200 = 3720$ ，所以 $\frac{N}{10} = 372$ 。

The available characters are the seven distinct symbols A, I, M, E, $2,$ $0,$ $7,$ where $0$ may be used up to twice and every other character at most once. Sequences using at most one $0$ consist of five distinct characters chosen from the seven, in order: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520.$

Sequences with two $0$ 's: choose the two positions for the $0$ 's in $\binom{5}{2} = 10$ ways, then fill the remaining three positions with distinct characters from the other six in $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ ways, for $1200$ sequences.

Thus $N = 2520 + 1200 = 3720,$ and $\frac{N}{10} = 372.$

2007 AIME II 第 1 题

答案：372

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题