2006 AIME II 第 1 题

Question

在凸六边形

ABCDEF

中，六条边全等，

\angle A

和

\angle D

是直角，且

\angle B

、

\angle C

、

\angle E

和

\angle F

全等。这个六边形区域的面积为

2116(\sqrt{2} + 1)

。求

AB

。

In convex hexagon

ABCDEF,

all six sides are congruent,

\angle A

and

\angle D

are right angles, and

\angle B,

\angle C,

\angle E,

and

\angle F

are congruent. The area of the hexagonal region is

2116(\sqrt{2} + 1).

Find

AB.

答案

答案：46

知识点：面积分割角度和特殊直角三角形

难度评级：2110

小提示：

角

B

、

C

、

E

、

F

都等于

135^\circ

。画出对角线

BF

和

CE

。

Each of angles

B,

C,

E,

F

measures

135^\circ.

Draw diagonals

BF

and

CE.

大提示：

这些对角线把六边形分成两个等腰直角三角形和一个边长为

AB

与

AB\sqrt{2}

的矩形。

These diagonals cut the hexagon into two right isosceles triangles and a rectangle with side lengths

AB

and

AB\sqrt{2}.

解答：

六边形内角和为

720^\circ

，所以这四个全等角各为

\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135

度。设

AB = x

。对角线

BF

和

CE

截出等腰直角三角形

FAB

和

CDE

，每个三角形的直角边为

x

，斜边为

x\sqrt{2}

，而

135^\circ

的角保证剩下的部分

BCEF

是一个边长为

x\sqrt{2}

和

x

的矩形。

因此面积为

\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1) \end{aligned}\text{，}

所以

x^2 = 2116

，从而

AB = x = 46

。

The angles of a hexagon sum to

720^\circ,

so each of the four congruent angles measures

\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135

degrees. Let

AB = x.

The diagonals

BF

and

CE

cut off the right isosceles triangles

FAB

and

CDE,

each with legs

x

and hypotenuse

x\sqrt{2},

and the

135^\circ

angles guarantee that the remaining piece

BCEF

is a rectangle with sides

x\sqrt{2}

and

x.

Hence the area is

\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1), \end{aligned}

so

x^2 = 2116

and

AB = x = 46.

2006 AIME II 第 1 题

答案：46

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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