Question

在凸六边形 $ABCDEF$ 中，六条边全等， $\angle A$ 和 $\angle D$ 是直角，且 $\angle B$ ， $\angle C$ ， $\angle E$ ，和 $\angle F$ 全等。这个六边形区域的面积为 $2116(\sqrt{2} + 1)$ 。求 $AB$ 。

In convex hexagon $ABCDEF,$ all six sides are congruent, $\angle A$ and $\angle D$ are right angles, and $\angle B,$ $\angle C,$ $\angle E,$ and $\angle F$ are congruent. The area of the hexagonal region is $2116(\sqrt{2} + 1).$ Find $AB.$

答案

答案：46

知识点：面积分割角度和特殊直角三角形

难度评级：2110

解答：

六边形内角和为 $720^\circ$ ，所以这四个全等角各为 $\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135$ 度。设 $AB = x$ 。对角线 $BF$ 和 $CE$ 截出等腰直角三角形 $FAB$ 和 $CDE$ ，每个三角形的直角边为 $x$ ，斜边为 $x\sqrt{2}$ ，而 $135^\circ$ 的角保证剩下的部分 $BCEF$ 是一个边长为 $x\sqrt{2}$ 和 $x$ 的矩形。

因此面积为所以 $x^2 = 2116$ ，从而 $AB = x = 46$ 。 $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1), \end{aligned}$

The angles of a hexagon sum to $720^\circ,$ so each of the four congruent angles measures $\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135$ degrees. Let $AB = x.$ The diagonals $BF$ and $CE$ cut off the right isosceles triangles $FAB$ and $CDE,$ each with legs $x$ and hypotenuse $x\sqrt{2},$ and the $135^\circ$ angles guarantee that the remaining piece $BCEF$ is a rectangle with sides $x\sqrt{2}$ and $x.$

Hence the area is $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1), \end{aligned}$ so $x^2 = 2116$ and $AB = x = 46.$

2006 AIME II 第 1 题

答案：46

难度评级：2110

解答：

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